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Euklid mit Loch

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  Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-08 16:05 +0200
    Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-08 16:58 +0200
      Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-08 17:37 +0200
    Re: Euklid mit Loch Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2026-05-08 19:31 +0200
    Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-08 21:04 +0200
      Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-14 20:05 +0200
    Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-11 01:31 +0200
      Re: Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-12 09:25 +0200
        Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-13 01:32 +0200
        Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-15 19:01 +0200
          Re: Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-15 21:53 +0200
          Re: Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-15 21:53 +0200
            Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-16 08:27 +0200
            Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-19 04:17 +0200
          Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-16 03:19 +0200
            Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-16 04:16 +0200
              Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-16 16:02 +0200
          Re: Euklid mit Loch Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-05-16 23:41 +0000
            Re: Euklid mit Loch Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 01:06 +0200
            Re: Euklid mit Loch Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 01:07 +0200
              Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-01 02:56 +0200
                Re: Euklid mit Loch Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 03:09 +0200
        Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-19 04:33 +0200
    Re: Euklid mit Loch "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-05-17 10:48 +0200
      Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-17 11:56 +0200
        Re: Euklid mit Loch "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-05-17 13:14 +0200
          Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-17 13:46 +0200
          Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-17 13:23 +0000
            Re: Euklid mit Loch "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-05-17 15:41 +0200
              Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-17 13:51 +0000
                Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-18 15:00 +0200
                  Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-18 13:56 +0000
                    Re: Euklid mit Loch Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2026-05-19 00:41 +0000
                      Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-20 14:46 +0000
                        Re: Euklid mit Loch Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2026-05-22 17:22 +0000
                    Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-19 03:16 +0200

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#143610

Am 01.06.2026 um 01:07 schrieb Moebius:

> Ja, hätte mir gerne den Teil I zugelegt:
> 
> | Einführung in die Topologie. Metrische Räume
> | vi + 214 Seiten, broschiert, ISBN 3-88538-101-X, 1986, out of print.
> 
> https://www.heldermann.de/BSM/BSM01/bsm01.htm
> 
> Aber
> 
> | Gebraucht kaufen
> | 104,00 €


Teil 2:
-------
https://1drv.ms/b/c/e007344dea1c4796/IQDlck2bYsFmS41y5mVCZRxEAWDufPbYwsIoGlOl-UNno3w

Teil 1:
-------
https://archive.org/search?query=external-identifier%3A%22urn%3Alcp%3Acategorytheoryin0000hors%3Aepub%3A268b989f-1ea9-4929-a2cc-f365610289ba%22

vergleichbares Material:
------------------------
https://1drv.ms/b/c/e007344dea1c4796/IQD2PbL-3p5_TagrW5qjX_buAUr9Q23tiYrvH-yD0HcpthM?e=QJQo0b

Jens

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#143612

Am 01.06.2026 um 02:56 schrieb Jens Kallup:
> Am 01.06.2026 um 01:07 schrieb Moebius:
>> 
>> Ja, hätte mir gerne den Teil I zugelegt:
>>
>> | Einführung in die Topologie. Metrische Räume
>> | vi + 214 Seiten, broschiert, ISBN 3-88538-101-X, 1986, out of print.
>>
>> https://www.heldermann.de/BSM/BSM01/bsm01.htm
>>
>> Aber
>>
>> | Gebraucht kaufen
>> | 104,00 €
>>

 > [...]

Ja, danke. Aber ich meinte: "hätte mir gerne den Teil I ALS BUCH zugelegt".

Ausgedruckte pdfs sind dafür leider kein Ersatz.

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#143528

Am 12.05.2026 um 09:25 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 11.05.2026 um 01:31 schrieb Moebius:
>>
>> Mein Lehrer für Analysis I, II und III an der Uni war Prof. Johann Cigler.
>>
>> Siehe:
>>
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Topologie
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakt-Offen-Topologie
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndig_regul%C3%A4rer_Raum
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Netz_(Topologie)
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Kelley-Raum
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Schleife_(Topologie)
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Isolierter_Punkt
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Nulldimensionaler_Raum
>> https://de.wikipedia.org/wiki/Tichonow-Planke
>>
>> :-)
>>
> Oho, guter Name!

Nicht nur "guter Name", sondern /guter Mann/. Das Wenige, was ich über 
Mathematik (wirklich) gelernt habe, habe ich (initial) wohl _von ihm_ 
gelernt. (Aber man lernt natürlich _weiter_.)

Bei Mückenheim sieht man leider deutlich, wie sich das auswirkt 
(auswirken kann), wenn man keinen solchen Lehrer hatte.

.
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#143512

Am 08.05.26 um 16:05 schrieb Rainer Rosenthal:
> Moebius hat eine interessante Entdeckung gemacht[1], der ich ein eigenes 
> Thema widmen möchte.
> 
> Wir bohren in die euklidische Ebene R^2 bei (0,0) ein Loch.
> Damit verlassen wir den metrischen Raum (R^2,d_E) mit der euklidischen 
> Metrik d_E.
> Die gelochte Menge L = R^2 \ {(0,0)} zusammen mit der Spurmetrik d_Es 
> von d_E bildet den metrischen Raum (L,d_Es).
> 
> Die erstaunliche Entdeckung lautet:
> Es gibt keinen kürzesten Weg zwischen den Punkten (-1,0) und (1,0) im 
> Raum (L,d_Es).
> 
> Erläuterung: Der direkte Weg hätte Länge 2, ist aber bei (0,0) 
> unterbrochen. Jeder Weg in (L,d_Es) von (-1,0) nach (1,0) hat Länge > 2 
> und kann verkürzt werden.
> 
> Gruß,
> RR
> 
> [1] "Diagonale Wege", 07.05.2026, 18:37
> 
Wie groß muß denn das Loch sein, damit sich sicher sagen läßt, daß an 
dieser Stelle 'etwas' (messbares) beseitigt wurde?

(ich wäre damit zufrieden, wenn jemand anstelle des Lochradius dessen 
Kehrwert angibt)

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#143513

Am 17.05.2026 um 10:48 schrieb Klaus H.:
>>
> Wie groß muß denn das Loch sein, damit sich sicher sagen läßt, daß an 
> dieser Stelle 'etwas' (messbares) beseitigt wurde?
> 
> (ich wäre damit zufrieden, wenn jemand anstelle des Lochradius dessen 
> Kehrwert angibt)

Ein Loch ist ein kreisähnlices Konstrukt.
Der einfachste Kreis hat die Einheit eins, deshalb schreibt man auch von
Einheitskreis mit einen Radius von eins.
Der Durchmesser ist dann zwei Eineitskreis-radien.

Wenn Du den Kreis im Raum sehen möchtes, entsteht ein halber Kreis
oberhalb der Ebene, und ein halber Kreis unterhalb der Ebene.

Somit hast Du dann einen Wert mit plus eins, und einen Wert mit minus
eins.

Jens

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#143514

Am 17.05.26 um 11:56 schrieb Jens Kallup:
> Am 17.05.2026 um 10:48 schrieb Klaus H.:
>>>
>> Wie groß muß denn das Loch sein, damit sich sicher sagen läßt, daß an 
>> dieser Stelle 'etwas' (messbares) beseitigt wurde?
>>
>> (ich wäre damit zufrieden, wenn jemand anstelle des Lochradius dessen 
>> Kehrwert angibt)
> 
> Ein Loch ist ein kreisähnlices Konstrukt.
> Der einfachste Kreis hat die Einheit eins, deshalb schreibt man auch von
> Einheitskreis mit einen Radius von eins.
> Der Durchmesser ist dann zwei Eineitskreis-radien.
> 
Wenn man dem Loch exakt den Radius 'eins' gibt (ich lasse dahingestellt 
ob damit ein Picometer oder ein Lichtjahr gemeint ist): stimmt dann noch 
die Aussage im Eröffnungsposting, daß es jedem Verbindungsweg vom Punkt 
(0,1) zum Punkt (0,-1), der das Loch umgeht, noch einen kürzeren gibt?

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#143515

Am 17.05.2026 um 13:14 schrieb Klaus H.:
>>> Wie groß muß denn das Loch sein, damit sich sicher sagen läßt, daß an 
>>> dieser Stelle 'etwas' (messbares) beseitigt wurde?
>>>
>>> (ich wäre damit zufrieden, wenn jemand anstelle des Lochradius dessen 
>>> Kehrwert angibt)
>>
>> Ein Loch ist ein kreisähnlices Konstrukt.
>> Der einfachste Kreis hat die Einheit eins, deshalb schreibt man auch von
>> Einheitskreis mit einen Radius von eins.
>> Der Durchmesser ist dann zwei Eineitskreis-radien.
>>
> Wenn man dem Loch exakt den Radius 'eins' gibt (ich lasse dahingestellt 
> ob damit ein Picometer oder ein Lichtjahr gemeint ist): stimmt dann noch 
> die Aussage im Eröffnungsposting, daß es jedem Verbindungsweg vom Punkt 
> (0,1) zum Punkt (0,-1), der das Loch umgeht, noch einen kürzeren gibt?


Nun, epsilon ist ja auch mit der Begründung eingeführt worden, damit ein
existierender Grenzwert noch feiner gespreizt werden kann (gedanklich).
In den Artikeln hier und auf YouTube, in den Video vom Edmund seinen
Videos kannst Du das nachsehen...

Mit epsilon wird dann quasi null geteilt und geteilt, und ... bis ins oo
lich. Epsilon ist dann halt noch etwas viel kleineres als null.

Jens

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#143516

Klaus H. schrieb

> Wenn man dem Loch exakt den Radius 'eins' gibt 

So dass man den metrischen Raum {x in R^2 : |x| > 1} mit der 
euklidischen Metrik erhält. 

> (ich lasse dahingestellt ob damit ein Picometer oder ein 
> Lichtjahr gemeint ist): 

Das gehört vielleicht in die Physik oder in eine andere Natur- 
oder Ingenieurwissenschaft, hat aber in der Mathematik nichts 
verloren. 

> stimmt dann noch  die Aussage im Eröffnungsposting, daß es 
> jedem Verbindungsweg vom Punkt (0,1) zum Punkt (0,-1), der 
> das Loch umgeht, noch einen kürzeren gibt? 

Die Punkte (0,1) und (0,-1) gibt es im o.g. metrischen Raum 
nicht. Die liegen beide im Loch. 
Nimmt man etwa (0,2) und (0,-2), so bleibt die Aussage, dass es 
zu jedem Weg zwischen den beiden einen kürzeren gibt, richtig. 

Hans 

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#143517

Am 17.05.26 um 15:23 schrieb Hans Crauel:
> Klaus H. schrieb
> 
>> Wenn man dem Loch exakt den Radius 'eins' gibt
> 
> So dass man den metrischen Raum {x in R^2 : |x| > 1} mit der
> euklidischen Metrik erhält.
> 
Wie muß man die Bohrmaschine einstellen, damit sie anstelle des Gebiets 
{x in R^2 : |x| > 1} das Gebiet {x in R^2 : |x| >= 1} erzeugt?

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#143518

Klaus H. schrieb

> Am 17.05.26 um 15:23 schrieb Hans Crauel: 
>> Klaus H. schrieb
>>> Wenn man dem Loch exakt den Radius 'eins' gibt
>> So dass man den metrischen Raum {x in R^2 : |x| > 1} mit der
>> euklidischen Metrik erhält.
>> 
> Wie muß man die Bohrmaschine einstellen, damit sie anstelle des Gebiets 
> {x in R^2 : |x| > 1} das Gebiet {x in R^2 : |x| >= 1} erzeugt?

Was an 

| Das gehört vielleicht in die Physik oder in eine andere Natur- 
| oder Ingenieurwissenschaft, hat aber in der Mathematik nichts 
| verloren. 

hast du denn nicht verstanden? 

Hans 

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#143521

Am 17.05.2026 um 15:51 schrieb Hans Crauel:
> Klaus H. schrieb
>>
>> Wie muß man die Bohrmaschine einstellen, damit sie [...] das Gebiet {x in R^2 : |x| >= 1} erzeugt?
>>> Was an
> 
> | Das gehört vielleicht in die Physik oder in eine andere Natur-
> | oder Ingenieurwissenschaft, hat aber in der Mathematik nichts
> | verloren.
> 
> hast du denn nicht verstanden?
Davon mal abgesehen gibt es dann aber -wenn ich das richtig sehe- einen 
kürzesten Weg zwischen (0, 2) und (0, -2) (ja sogar zwei solche Wege).

.
.
.


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#143522

Moebius schrieb 

> Am 17.05.2026 um 15:51 schrieb Hans Crauel:
>> Klaus H. schrieb
>>> Wie muß man die Bohrmaschine einstellen, damit sie [...] das Gebiet 
>>> {x in R^2 : |x| >= 1} erzeugt? 
>> Was an
>> | Das gehört vielleicht in die Physik oder in eine andere Natur-
>> | oder Ingenieurwissenschaft, hat aber in der Mathematik nichts
>> | verloren.
>> hast du denn nicht verstanden?

> Davon mal abgesehen gibt es dann aber -wenn ich das richtig sehe- einen 
> kürzesten Weg zwischen (0, 2) und (0, -2) (ja sogar zwei solche Wege). 

Yepp. Lokal kompakt und wegzusammenhängend müsste 
für die Existenz kürzester Wege genügen. 

Hans 

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#143524

Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> wrote:
>
> Yepp. Lokal kompakt und wegzusammenhängend müsste 
> für die Existenz kürzester Wege genügen.

Nein: Die punktierte Ebene hatten wir doch schon als Gegenbeispiel.
Statt lokalkompakt meinst Du vermutlich: Der Durchschnitt mit
abgeschlossenen Kugeln soll kompakt sein.
Aber ob das wirklich ausreicht, kann ich auf Anhieb nicht beweisen.
Meiner Intuition nach braucht man noch etwas mehr (vielleicht:
lokal wegzusammenhängend?)

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#143543

Martin Vaeth schrieb 

> Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> wrote:
>> Yepp. Lokal kompakt und wegzusammenhängend müsste 
>> für die Existenz kürzester Wege genügen.
> 
> Nein: Die punktierte Ebene hatten wir doch schon als Gegenbeispiel. 
> Statt lokalkompakt meinst Du vermutlich: Der Durchschnitt mit 
> abgeschlossenen Kugeln soll kompakt sein. 

Oh ja, da hast du Recht und ich habe Unsinn verzapft. 
Ich hatte im Kopf, dass Durchschnitte mit kompakten 
Mengen kompakt sein sollten, aber das ist natürlich was 
anderes als "lokal kompakt". 

> Aber ob das wirklich ausreicht, kann ich auf Anhieb nicht beweisen.
> Meiner Intuition nach braucht man noch etwas mehr (vielleicht:
> lokal wegzusammenhängend?) 

Da hatte ich im Kopf, dass Grenzwerte von Wegen wieder 
Wege sein müssten, aber nicht berücksichtigt, dass das 
gleichmäßige Konvergenz braucht, die erst mal nicht 
offensichtlich ist. 

Hans 

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#143554

Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb:
>
>> Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> wrote:
>>> Yepp. Lokal kompakt und wegzusammenhängend müsste 
>>> für die Existenz kürzester Wege genügen.
>> 
>> Nein: Die punktierte Ebene hatten wir doch schon als Gegenbeispiel. 
>> Statt lokalkompakt meinst Du vermutlich: Der Durchschnitt mit 
>> abgeschlossenen Kugeln soll kompakt sein. 
>
> Oh ja, da hast du Recht und ich habe Unsinn verzapft. 
> Ich hatte im Kopf, dass Durchschnitte mit kompakten 
> Mengen kompakt sein sollten, aber das ist natürlich was 
> anderes als "lokal kompakt".

Nennen wir das mal "beschränkt kompakt". Das passt mit der Definition
von Eigentlichkeit von Abbildungen auf normierten Räumen zusammen, bei
der man üblicherweise nur fordert, dass die Einschränkung auf jede
abgeschlossene Kugel eigentlich ist.
Und da bekanntlich jeder metrische Raum isometrisch ist zu einer
abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Raums, ist dies eine
sinnvolle Definition in metrischen Räumen.


>> Aber ob das wirklich ausreicht, kann ich auf Anhieb nicht beweisen.
>> Meiner Intuition nach braucht man noch etwas mehr (vielleicht:
>> lokal wegzusammenhängend?) 
>
> Da hatte ich im Kopf, dass Grenzwerte von Wegen wieder 
> Wege sein müssten, aber nicht berücksichtigt, dass das 
> gleichmäßige Konvergenz braucht, die erst mal nicht 
> offensichtlich ist. 

Viel schlimmer: Du brauchst Konvergenz in der Varianz des Weges,
also (im glatten Fall) so etwas wie C^1-Konvergenz.

Ich bin inzwischen ziemlich sicher, dass lokal wegzusammenhängend
nicht ausreicht, und auch lokal zusammenziehbar nicht (wobei es
da verschiedene Varianten gibt: In welcher Obermenge ist der
Weg zusammenziehbar).

Ich versuchte es zunächst mit so etwas wie: In jeder Kugel muss
jeder geschlossene rektifizierbare Weg so zusammenziehbar sein,
dass er dabei strikt kürzer wird, aber das ist wohl viel zu stark
(und vielleicht nicht einmal hinreichend).

Das einzige Kriterium, das ich in der Richtung fand, ist der Satz
von Hopf-Rinow
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow,
aber der geht halt nur für Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Seltsam: Ich hätte vermutet, darüber gibt es andere klassiche
Resultate, aber das Problem scheint echt knifflig zu sein.

Das Problem: Die Grundidee einer jeden Konstruktion ist es,
von einer Folge kürzer werdender Wege zu starten. Aber diese
können im Sinne der Verbindung von Wegen in der Variationsmetrik
beliebig weit voneinander entfernt sein.

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#143525

Am 18.05.2026 um 15:56 schrieb Hans Crauel:
> Moebius schrieb
>> Am 17.05.2026 um 15:51 schrieb Hans Crauel:
>>> Klaus H. schrieb
>>>
>>>> Wie muß man die Bohrmaschine einstellen, damit sie [...] das Gebiet
>>>> {x in R^2 : |x| >= 1} erzeugt?
>>>>
>>> Was an
>>>
>>> | Das gehört vielleicht in die Physik oder in eine andere Natur-
>>> | oder Ingenieurwissenschaft, hat aber in der Mathematik nichts
>>> | verloren.
>>>
>>> hast du denn nicht verstanden?
>>> 
>> Davon mal abgesehen ... gibt es dann aber -wenn ich das richtig sehe- einen
>> kürzesten Weg zwischen (0, 2) und (0, -2) (ja sogar zwei solche Wege).
>> 
> Yepp. Lokal kompakt und wegzusammenhängend müsste
> für die Existenz kürzester Wege genügen.

Ich habe mir das anhand einer "quasi-physikalischen" Überlegung "klar 
gemacht".*) Die Überlegung ist zwar (mathematisch gesehen) "fehlerhaft", 
scheint mir aber ein "richtiges Bild" des Sachverhalts zu liefer. 
Allerdings ist die Gefahr wirklich groß, sich hier in "physische(n)" 
Vorstellungen zu verstricken. [Daher führe ich das nicht weiter aus.]

________________________________

*) Ich sage dazu nur "Seil" (hust, hust) und "Zug" (don't ask) sowie 
"minimale Länge" ...

.
.
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