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Groups > de.sci.mathematik > #143554

Re: Euklid mit Loch

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Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> schrieb:
> Martin Vaeth schrieb:
>
>> Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> wrote:
>>> Yepp. Lokal kompakt und wegzusammenhängend müsste 
>>> für die Existenz kürzester Wege genügen.
>> 
>> Nein: Die punktierte Ebene hatten wir doch schon als Gegenbeispiel. 
>> Statt lokalkompakt meinst Du vermutlich: Der Durchschnitt mit 
>> abgeschlossenen Kugeln soll kompakt sein. 
>
> Oh ja, da hast du Recht und ich habe Unsinn verzapft. 
> Ich hatte im Kopf, dass Durchschnitte mit kompakten 
> Mengen kompakt sein sollten, aber das ist natürlich was 
> anderes als "lokal kompakt".

Nennen wir das mal "beschränkt kompakt". Das passt mit der Definition
von Eigentlichkeit von Abbildungen auf normierten Räumen zusammen, bei
der man üblicherweise nur fordert, dass die Einschränkung auf jede
abgeschlossene Kugel eigentlich ist.
Und da bekanntlich jeder metrische Raum isometrisch ist zu einer
abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Raums, ist dies eine
sinnvolle Definition in metrischen Räumen.


>> Aber ob das wirklich ausreicht, kann ich auf Anhieb nicht beweisen.
>> Meiner Intuition nach braucht man noch etwas mehr (vielleicht:
>> lokal wegzusammenhängend?) 
>
> Da hatte ich im Kopf, dass Grenzwerte von Wegen wieder 
> Wege sein müssten, aber nicht berücksichtigt, dass das 
> gleichmäßige Konvergenz braucht, die erst mal nicht 
> offensichtlich ist. 

Viel schlimmer: Du brauchst Konvergenz in der Varianz des Weges,
also (im glatten Fall) so etwas wie C^1-Konvergenz.

Ich bin inzwischen ziemlich sicher, dass lokal wegzusammenhängend
nicht ausreicht, und auch lokal zusammenziehbar nicht (wobei es
da verschiedene Varianten gibt: In welcher Obermenge ist der
Weg zusammenziehbar).

Ich versuchte es zunächst mit so etwas wie: In jeder Kugel muss
jeder geschlossene rektifizierbare Weg so zusammenziehbar sein,
dass er dabei strikt kürzer wird, aber das ist wohl viel zu stark
(und vielleicht nicht einmal hinreichend).

Das einzige Kriterium, das ich in der Richtung fand, ist der Satz
von Hopf-Rinow
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow,
aber der geht halt nur für Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

Seltsam: Ich hätte vermutet, darüber gibt es andere klassiche
Resultate, aber das Problem scheint echt knifflig zu sein.

Das Problem: Die Grundidee einer jeden Konstruktion ist es,
von einer Folge kürzer werdender Wege zu starten. Aber diese
können im Sinne der Verbindung von Wegen in der Variationsmetrik
beliebig weit voneinander entfernt sein.

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Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-08 16:05 +0200
  Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-08 16:58 +0200
    Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-08 17:37 +0200
  Re: Euklid mit Loch Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2026-05-08 19:31 +0200
  Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-08 21:04 +0200
    Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-14 20:05 +0200
  Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-11 01:31 +0200
    Re: Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-12 09:25 +0200
      Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-13 01:32 +0200
      Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-15 19:01 +0200
        Re: Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-15 21:53 +0200
        Re: Euklid mit Loch Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-05-15 21:53 +0200
          Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-16 08:27 +0200
          Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-19 04:17 +0200
        Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-16 03:19 +0200
          Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-16 04:16 +0200
            Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-16 16:02 +0200
        Re: Euklid mit Loch Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-05-16 23:41 +0000
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            Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-01 02:56 +0200
              Re: Euklid mit Loch Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 03:09 +0200
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  Re: Euklid mit Loch "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-05-17 10:48 +0200
    Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-17 11:56 +0200
      Re: Euklid mit Loch "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-05-17 13:14 +0200
        Re: Euklid mit Loch Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-17 13:46 +0200
        Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-17 13:23 +0000
          Re: Euklid mit Loch "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-05-17 15:41 +0200
            Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-17 13:51 +0000
              Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-18 15:00 +0200
                Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-18 13:56 +0000
                Re: Euklid mit Loch Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2026-05-19 00:41 +0000
                Re: Euklid mit Loch Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-05-20 14:46 +0000
                Re: Euklid mit Loch Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2026-05-22 17:22 +0000
                Re: Euklid mit Loch Moebius <invalid@example.invalid> - 2026-05-19 03:16 +0200

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