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Re: Halbes Perpetuum mobile?

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Am 13.09.2016 um 12:10 schrieb Ernst Sauer:

> Man kann sich auf den mittleren Abschnitt konzentrieren.
> Dort ist ein Streckenabschnitt zu sehen, der eine gewisse
> Ähnlichkeit mit der Brachistochrone hat.

So kompliziert muss man das wirklich nicht machen.

Die genaue Form der Bahn ist aus so einer groben Skizze sowieso nicht zu 
ermitteln, also ignoriert man am besten alle Einflüsse, die deshalb gar 
nicht berechenbar wären.  Das betrifft hier insbesondere die Form der 
Rampen hinab in die abgesenkte Teilstrecke.

> Hier ist die höhere Geschwindigkeit am Anfang der Strecke
> der Knackpunkt der Geschichte.

Nein, ist er nicht.  Am Anfang haben beide Bahnen, soweit das überhaupt 
erkennbar ist, wohl die gleiche Form, also ist auch die gesamte 
Orts-Zeit-Kurve der Kugel gleich, bis zu der Stelle, wo die Bahnen sich 
in der Form unterscheiden, wo also entweder die abgesenkte Stelle 
beginnt, oder eben nicht.  Die Geschwindigkeit an dieser Stelle der 
beiden Bahnen ergibt sich, dank vernachlässigter Reibung, direkt aus der 
Energieerhaltung zu:

	sqrt(2*g*H),

wobei H die Höhe des Anlauf-HÜgels ist.  Diese Höhe ist auch die einzig 
interessante Eigenschaft des Anlauf-Hügels.

Somit bleibt als nutzbare Angabe der Bahnform nur übrig: sie beginnt und 
endet waagerecht auf der gleichen Höhe, die nennen wir "Null".  Die 
modifizierte Bahn hat dazwischen einen Abschnitt, der tiefer liegt: auf 
der Höhe -h, mit Rampen da runter und wieder heraus.

Deren Effekt kann und muss man ignorieren, weil nicht genug 
Informationen vorliegen, um ihn zu berechnen.  Im Übrigen wird er sich 
eh' weitestgehend rausnullen denn was auf der Abwärts-Rampe an Zeit 
gespart wird, steckt man auf der symmetrisch geformten Aufwärts-Rampe 
ziemlich genau so wieder rein.

Der echte Knackpunt ist, dass die Kugel im abgesenkten Bahnstück 
_schneller_rollt_, und es daher auch schneller zurück legt als auf der 
komplett waagerechten Vergleichsbahn.  Die Geschwindigkeit in der Senke 
beträgt

	sqrt(2*g*(H+h))

und damit ist die Zeit zu deren Durchquerung um einen Faktor

	sqrt(H / (H + h))

kleiner als auf der Waagerechten.

Selbst wenn die Kugel für die beiden zusätzlichen Rampen tatsächlich 
länger braucht als für die entsprechenden Stücke waagerechte Strecke, 
kann man am Ende immer früher am Ziel sein, in dem man die Länge der 
abgesenkten Teilstrecke entsprechend länger annimmt.  Das ist hier immer 
möglich, denn es stand ja nirgends, wie lang die sein soll.

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