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Groups > de.sci.physik > #142075

Re: Schwerkraft

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Thomas 'PointedEars' Lahn wrote:

> […]
> Theoretisch herleiten lässt sich die Tatsache, dass die Gravitationskraft
> innerhalb einer Massenschale 0 ist auch aus dem Gauß’schen Gesetz für die
> Gravitation unter Anwendung des Satzes von Gauß (und einiger Annahmen für
> das Gravitationsfeld g⃗):
> 
>                                 ∇ · g⃗ = −4π G ρ,
> 
> wobei g⃗ das Gravitationsfeld ist und ρ die Massendichte.  Wir können ein
> (*dasselbe*) Volumenintegral jeder Seite berechnen, was an der Identität
> nichts ändert:
> 
>                  ∫∫∫_V d³x⃗ [∇ · g⃗(x⃗)] = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗)
> 
> Auf der linken Seite können wir den Satz von Gauß anwenden.  Dadurch wird
> aus dem Integral über das Volumen ein Integral über die Fläche, die dieses
> Volumen einschliesst.  Auf der rechten Seite ergibt sich einfach die
> Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:
> 
>                      ∫∫_∂V d²x⃗ · g⃗(x⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗).
> 
> Wenn wir Kugelsymmetrie annehmen, ist es hilfreich, als Volumen eine Kugel
> anzunehmen und in Kugelkoordinaten zu rechnen.  Dann sind die nach aussen
> zeigende Flächennormale und der Vektor des Gravitationsfelds zueinander
> antiparallel (die Gravitationskraft ist eine Zentripetalkraft, der
> entsprechende Vektor zeigt also nach innen).  Auf der rechten Seite ergibt
> sich einfach die Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:
> 
>                       −∫∫_∂V d²r g(r⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³r⃗ ρ(r⃗).
> […]
> 
>   ⇔ −r² ∫_0^π dθ sin(θ) ∫_0^{2π} g(r) = −4π G M(r)
> 
>   ⇔                       −4π r² g(r) = −4π G M(r)
> 
>   ⇔                              g(r) = G M(r)/r².
> 
> Wenn sich aber nun zwischen dem Zentrum (r' = 0) und r' = r keine Masse
> befindet, also für alle r' in diesem Bereich die Massendichte ρ(r') = 0
> ist,
> dann ist das Integral auf der rechten Seite 0.  Es folgt daraus, dass auch
> die Stärke des Gravitationsfelds bei diesem Radius r (r < R) null ist:
> 
>                                  g(r) = G/r² · M(r) = G/r² · 0 = 0.
> 
> […]
>> gilt dasselbe: Auch dann wären die Verformungen nah den Massen,
>> also nie im Zentrum konzentriert....
> 
> Ein einfacher Merksatz der Physik (der zumindest im makroskopischen Fall
> richtig ist) lautet: Wo ein Körper ist, kann kein zweiter sein.
> 
> Der hypothetische Fall, dass sich in der Mitte eines Himmelskörpers ein
> Loch befindet (das dann von der o.g. hypothetischen Person ausgefüllt
> werden könnte), tritt praktisch niemals ein, weil Himmelskörper von innen
> nach aussen entstehen: Zuerst gibt es eine Materieansammlung, und diese
> zieht solange die umgebende Materie an, bis entweder nicht mehr genügend
> Materie in der Nähe ist oder die umgebende Materie sich zu schnell bewegt,
> um auf die gewachsende Materieansammung zu fallen.

Ergänzend:

Für das Gravitationsfeld *ausserhalb* einer Massenschale spielt die Art, wie 
die Masse *innerhalb* der Schale verteilt ist, tatsächlich keine Rolle.  
Auch das lässt sich dem Gauß'schen Gesetz (für Ladungen in der Elektrostatik 
äquivalent zur 1. Maxwell-Gleichung) bzw. der Lösung der Poisson-Gleichung 
für ein radialsymmetrisches Potential entnehmen.

Wir hatten zuvor für eine radialsymmetrische Masseverteilung allgemein 
hergeleitet:

  r² g(r) = G M(r).

Ist nun r ≥ R, wobei R der äussere Radius ist, an dem die Dichte 0 wird, so 
wird daraus

  r² g(r) = G M(R) = G M

und wir finden für die Gravitationsbeschleunigung ausserhalb des Körpers 
eben die bekannte Tatsache, dass sie proportional zur Masse des 
Zentralkörpers und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zu 
seinem Massezentrum ist:

     g(r) =  G M(R) = G M/r²

bzw. vektoriell

     g⃗(r) = −G M/r² r⃗/r.

Durch Multiplikation mit der Masse m eines zweiten Körpers ergibt sich das 
Newtonsche Gravitationsgesetz:

  F = m a = m g(r) =  G M m/r²

bzw. vektoriell

  F⃗ = m a⃗ = m g⃗(r) = −G M m/r² r⃗/r.

Aus dem Gauß’schen Gesetz für die Gravitationskraft ergibt sich ausserdem 
eine Poisson-Gleichung für das Gravitationsfeld, denn wir wissen, dass die 
Gravitationskraft eine konservative Kraft ist:

    ∇ × F⃗ = ∇ × (−G M m/r² r⃗/r) = −G M m (∇ × r⃗/r³).

    ∇ × r⃗ = (∂_x, ∂_y, ∂_z) × (x, y, z)
          = (∂_y z − ∂_z y, ∂_z x − ∂_x z, ∂_x y − ∂_y x)
          = 0⃗

  ⇒ ∇ × F⃗ = ∇ × g⃗ = 0⃗.

Daraus folgt äquivalent über den Satz von Stokes, dass insbesondere 
geschlossene Linienintegrale über das Gravitationsfeld 0 sind, also 
Linienintegrale über das Feld wegunabhängig sind –

  ∯_Σ d²r⃗ · (∇ × F⃗) = ∮_∂Σ dr⃗ · F⃗ = 0.

Es muss also ein skalares Gravitationspotential Φ(r⃗) mit g⃗(r⃗) = −∇Φ(r⃗) 
geben, so dass es lediglich auf die Endpunkte ankommt:

  ∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · g⃗(r⃗) =      ∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · [−∇Φ(r⃗)]
                    =     −∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · d/dr⃗ Φ(r⃗)
                    = −/dr⃗ ∮_r⃗₁^r⃗₂ dr⃗ · Φ(r⃗)
                    = −[Φ(r⃗₂) − Φ(r⃗₁)].
                    =   Φ(r⃗₁) − Φ(r⃗₂).

Somit ergibt sich die Poisson-Gleichung für die Gravitation:

    ∇ · g⃗ = ∇ · [−∇Φ(r⃗)] = −∇ · [∇Φ(r⃗)] = −ΔΦ = −4π G ρ(r⃗),
  ⇔                                        ΔΦ =  4π G ρ(r⃗) =: β(r),

wobei Δ der Laplace-Operator ist.  Die allgemeine Lösung ist

  Φ(r⃗) = −1/(4π) ∫_ℝ³ d³r⃗' β(r⃗')/(|r⃗ − r⃗'|).

Für ein radialsymmetrisches Potential nimmt die Lösung der Gleichung die 
folgende einfache Form an:

  Φ(r) = −1/(4π) · M(r)/r − r ∫_r^R dr β(r),

wobei

  M(r) ≔ 4π ∫_0^r dr r² β(r),

somit für β(r) = 4π G ρ(r):

  Φ(r) = −1/(4π) · M(r)/r − r ∫_r^R dr β(r')
       = −1/(4π) · 1/r 4π ∫_0^r dr' r'² β(r') − r ∫_r^R dr' β(r')
       = −1/r ∫_0^r' dr r'² 4π G ρ(r') − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r')
       = −G/r ∫_0^r dr' r'² 4π ρ(r') − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r')
       = −G/r ∰_{0 ≤ r' ≤ r} d³r⃗' ρ(r') − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r').

Das erste Integral liefert wiederum die Masse vom Zentrum bis zum Radius r:

  Φ(r) = −G M(r)/r − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r').

Für r ≥ R liefert das erste Integral wiederum die Gesamtmasse und das zweite 
Integral ist gleich 0:

  Φ(r) = −G/r ∫_V dV ρ(r) − r ∫_r^R dr' 4π G ρ(r') = −G M/r.

⇒ g⃗(r) = −∇Φ(r) = −G M/r² r⃗/r.    [Was wir durch Newton schon wussten.]


Das heisst jeweils: Selbst wenn sich in der Mitte eines Himmelskörpers ein 
(kleines) Loch befände, so hat das keine Auswirkung auf das Gravitationsfeld 
*ausserhalb* des Lochs.  Ob es da ein (kleines) Loch gibt (bzw. ein solches 
entsteht), ist also tatsächlich für die Entstehung des Himmelskörpers 
irrelevant: Bei radialsymmetrischer Verteilung fallen andere Körper genau so 
auf ihn als wenn seine gesamte Masse in seinem Zentrum konzentriert wäre.


PointedEars
-- 
Q: Who's on the case when the electricity goes out?  
A: Sherlock Ohms.

(from: WolframAlpha)

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Schwerkraft Marianne Poster <marianne.poster@alphafrau.de> - 2022-09-17 00:12 +0200
  Re: Schwerkraft Toni-Ketzer <toni-ketzer@online.de> - 2022-09-17 12:56 +0200
  Re: Schwerkraft Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2022-09-17 15:31 +0200
  Re: Schwerkraft Josef Fluge <b-707@web.de> - 2022-09-18 00:09 +0200
  Re: Schwerkraft Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2022-09-20 13:37 +0200
    Re: Schwerkraft Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2022-09-25 01:59 +0200
  Re: Schwerkraft Erika Ciesla <abc@xyz.invalid> - 2023-04-02 13:48 +0200
    Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 14:03 +0200
      Re: Schwerkraft Erika Ciesla <abc@xyz.invalid> - 2023-04-02 17:46 +0200
        Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 18:05 +0200
          Re: Schwerkraft Erika Ciesla <abc@xyz.invalid> - 2023-04-02 18:32 +0200
            Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 18:32 +0200
          Re: Schwerkraft Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2023-04-02 19:31 +0200
            Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 21:08 +0200
              Re: Schwerkraft Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2023-04-02 21:17 +0200
            Re: Schwerkraft Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2023-04-04 10:45 +0200
              Re: Schwerkraft Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2023-04-05 12:26 +0200
        Re: Schwerkraft Hermann Riemann <nospam.ng@hermann-riemann.de> - 2023-04-02 19:33 +0200
          Re: Schwerkraft Franz Glaser <franz@meg-glaser.com> - 2023-04-03 11:34 +0200
          Re: Schwerkraft Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2023-04-12 22:12 +0200
    Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 14:15 +0200

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