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Groups > de.sci.physik > #142043

Re: Schwerkraft

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Marianne Poster wrote:
^^^^^^^^^^^^^^^
Falls das nicht Dein richtiger Name sein sollte, dann gib bitte Deinen 
richtigen Namen an.  Das gilt hier im deutschsprachigen Usenet als höflich 
und erhöht daher die Wahrscheinlichkeit für sinnvolle Antworten.

> Eigentlich müßte man in der Mitte eines Planeten schwerelos
> sein, da ja von dort aus / an diesem Punkte die Schwerkraft
> gleichzeitig in ALLE Richtungen zieht.

Das ist im Prinzip richtig.  Die Gravitationskräfte gleichen sich in diesem 
Punkt aber nur auf jeden Fall dann aus, wenn die Masse-Ansammlung 
kugelsymmetrisch ist, da dann für alle von dort entfernten Volumenelemente 
dieselbe, nur vom Abstand abhängige Beziehung gilt.  Das heisst, jedes 
Volumenelement im gleichen Abstand übte dieselbe gravitative Anziehung auf 
den Testkörper im Zentrum aus, so dass sich die Gravitationskräfte aufheben.

In der Praxis ist das nicht so: Das Gravitationszentrum von Terra etwa ist 
leicht verschieden vom Massezentrum und vom geometrischen Zentrum („Mitte 
des Planeten“).

Die Gravitationskraft in diesem Punkt wäre aber auch dann 0, wenn es sich um 
ein (personengrosses) Loch im Planeten handeln würde, also dort keine Masse 
bzw. (weil das physikalisch nicht möglich ist) im Vergleich zur Person eine 
sehr geringe, aber gleich verteilte Masse (z. B. die von Luft) befände.

Theoretisch herleiten lässt sich die Tatsache, dass die Gravitationskraft 
innerhalb einer Massenschale 0 ist auch aus dem Gauß’schen Gesetz für die 
Gravitation unter Anwendung des Satzes von Gauß (und einiger Annahmen für 
das Gravitationsfeld g⃗):

                                ∇ · g⃗ = −4π G ρ,

wobei g⃗ das Gravitationsfeld ist und ρ die Massendichte.  Wir können ein 
(*dasselbe*) Volumenintegral jeder Seite berechnen, was an der Identität 
nichts ändert:

                 ∫∫∫_V d³x⃗ [∇ · g⃗(x⃗)] = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗)

Auf der linken Seite können wir den Satz von Gauß anwenden.  Dadurch wird 
aus dem Integral über das Volumen ein Integral über die Fläche, die dieses 
Volumen einschliesst.  Auf der rechten Seite ergibt sich einfach die 
Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:

                     ∫∫_∂V d²x⃗ · g⃗(x⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³x ρ(x⃗).

Wenn wir Kugelsymmetrie annehmen, ist es hilfreich, als Volumen eine Kugel 
anzunehmen und in Kugelkoordinaten zu rechnen.  Dann sind die nach aussen 
zeigende Flächennormale und der Vektor des Gravitationsfelds zueinander 
antiparallel (die Gravitationskraft ist eine Zentripetalkraft, der 
entsprechende Vektor zeigt also nach innen).  Auf der rechten Seite ergibt 
sich einfach die Gesamtmasse bis einschliesslich zum Radius r:

                      −∫∫_∂V d²r g(r⃗) = −4π G ∫∫∫_V d³r⃗ ρ(r⃗).

  [Als Kugelkoordinaten kann man r, θ und φ mit

     x = r sin(θ) cos(φ)
     y = r sin(θ) sin(φ)
     z = r cos(θ)

  wählen.  Der Radiusvektor ist r⃗ = (x, y, z) [wie man sieht, hat er
  tatsächlich die euklidische Norm r, die gewählten Koordinaten sind also
  geeignet].  Damit lässt sich die Fläche der Kugel parametrisieren über
  das Flächenelement

    d²r = dθ dφ |∂r⃗/∂θ × ∂r⃗/∂φ|
        = dθ dφ |∂r⃗/∂θ| |∂r⃗/∂φ|
        = dθ dφ r · r sin(θ)
        = dθ dφ r² sin(θ).

  Letztere sehr hilfreiche Vereinfachung (man muss kein Kreuzprodukt
  mehr berechnen) ergibt sich, weil |a⃗ × b⃗| = |a⃗| |b⃗| sin[∠(a⃗, b⃗)],
  und ∂r⃗/∂θ · ∂r⃗/∂φ = 0, beide Vektoren also senkrecht aufeinander
  stehen :)]

  ⇔ −r² ∫_0^π dθ sin(θ) ∫_0^{2π} g(r) = −4π G M(r)

  ⇔                       −4π r² g(r) = −4π G M(r)

  ⇔                              g(r) = G M(r)/r².

Wenn sich aber nun zwischen dem Zentrum (r' = 0) und r' = r keine Masse 
befindet, also für alle r' in diesem Bereich die Massendichte ρ(r') = 0 ist, 
dann ist das Integral auf der rechten Seite 0.  Es folgt daraus, dass auch 
die Stärke des Gravitationsfelds bei diesem Radius r (r < R) null ist:

                                 g(r) = G/r² · M(r) = G/r² · 0 = 0.

> Weshalb halten dann eigentlich Planeten, Sterne, Galaxien zusammen?

Weil sich ihre (makroskopischen) Teilchen gegenseitig anziehen.

> Auch bei einsteinscher Gravitationsauslegung der "Beulen" und
> "Vertiefungen" des Raumes durch Schwerkraft

Diese Darstellung der RaumZEITkrümmung ist falsch.  Siehe auch:

Veritasium: “Why Gravity is NOT a Force”
<https://www.youtube.com/watch?v=XRr1kaXKBsU>

> gilt dasselbe: Auch dann wären die Verformungen nah den Massen,
> also nie im Zentrum konzentriert....

Ein einfacher Merksatz der Physik (der zumindest im makroskopischen Fall 
richtig ist) lautet: Wo ein Körper ist, kann kein zweiter sein.

Der hypothetische Fall, dass sich in der Mitte eines Himmelskörpers ein
Loch befindet (das dann von der o.g. hypothetischen Person ausgefüllt werden 
könnte), tritt praktisch niemals ein, weil Himmelskörper von innen nach 
aussen entstehen: Zuerst gibt es eine Materieansammlung, und diese zieht 
solange die umgebende Materie an, bis entweder nicht mehr genügend Materie 
in der Nähe ist oder die umgebende Materie sich zu schnell bewegt, um auf 
die gewachsende Materieansammung zu fallen.


PointedEars
-- 
“Science is empirical: knowing the answer means nothing;
 testing your knowledge means everything.”
   —Dr. Lawrence M. Krauss, theoretical physicist,
    in “A Universe from Nothing” (2009)

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Schwerkraft Marianne Poster <marianne.poster@alphafrau.de> - 2022-09-17 00:12 +0200
  Re: Schwerkraft Toni-Ketzer <toni-ketzer@online.de> - 2022-09-17 12:56 +0200
  Re: Schwerkraft Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2022-09-17 15:31 +0200
  Re: Schwerkraft Josef Fluge <b-707@web.de> - 2022-09-18 00:09 +0200
  Re: Schwerkraft Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2022-09-20 13:37 +0200
    Re: Schwerkraft Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2022-09-25 01:59 +0200
  Re: Schwerkraft Erika Ciesla <abc@xyz.invalid> - 2023-04-02 13:48 +0200
    Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 14:03 +0200
      Re: Schwerkraft Erika Ciesla <abc@xyz.invalid> - 2023-04-02 17:46 +0200
        Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 18:05 +0200
          Re: Schwerkraft Erika Ciesla <abc@xyz.invalid> - 2023-04-02 18:32 +0200
            Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 18:32 +0200
          Re: Schwerkraft Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2023-04-02 19:31 +0200
            Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 21:08 +0200
              Re: Schwerkraft Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2023-04-02 21:17 +0200
            Re: Schwerkraft Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2023-04-04 10:45 +0200
              Re: Schwerkraft Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2023-04-05 12:26 +0200
        Re: Schwerkraft Hermann Riemann <nospam.ng@hermann-riemann.de> - 2023-04-02 19:33 +0200
          Re: Schwerkraft Franz Glaser <franz@meg-glaser.com> - 2023-04-03 11:34 +0200
          Re: Schwerkraft Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2023-04-12 22:12 +0200
    Re: Schwerkraft Hans <enosta@chello.at> - 2023-04-02 14:15 +0200

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