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Extrapolation einer Exponentialfunktion

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Contents

  Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-26 14:03 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2016-12-26 14:34 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Sieghard Schicktanz <Sieghard.Schicktanz@SchS.de> - 2016-12-28 03:23 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2016-12-28 23:09 +0100
      Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-28 23:59 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-30 17:55 +0100
      Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2016-12-30 18:31 +0100
        Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-31 14:33 +0100
          Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2017-01-02 14:54 +0100

#101307 — Extrapolation einer Exponentialfunktion

Frohe Weihnachten allerseits!

Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine 
Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen 
Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal 
nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem 
der Meßtechnik.

Rechnerisch wären dabei a, k und tau aus mehreren (fehlerbehafteten) 
Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber 
als konstant angenommen werden. Und dafür suche ich jetzt einen 
praktischen Ansatz.

DoDi

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#101311

Hans-Peter Diettrich wrote in de.sci.physik und de.sci.electronics ohne 
F'up2:

> Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine
> Frage hier nochmal rein. […]

Sonst geht’s Dir aber noch gut?

F°

-- 
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.

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#101399

Hallo Hans-Peter,

Du schriebst am Mon, 26 Dec 2016 14:03:09 +0100:

> Frohe Weihnachten allerseits!
> 
> Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine 
> Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen 
> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal 
> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem 
> der Meßtechnik.
> 
> Rechnerisch wären dabei a, k und tau aus mehreren (fehlerbehafteten) 
> Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber 
> als konstant angenommen werden. Und dafür suche ich jetzt einen 
> praktischen Ansatz.

Ausgleichsrechnung, Funktionanpassung ("Fitting")?

Sollte schon lange fertige Algorithmen dafür geben, ersteres hat
schließlich schon Herr C. F. Gauß praktiziert.
("Methode der kleinsten Quadrate", "Least squares fit")

-- 
-- 
(Weitergabe von Adressdaten, Telefonnummern u.ä. ohne Zustimmung
nicht gestattet, ebenso Zusendung von Werbung oder ähnlichem)
-----------------------------------------------------------
Mit freundlichen Grüßen, S. Schicktanz
-----------------------------------------------------------

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#101444

Hans-Peter Diettrich wrote:
> 
> Frohe Weihnachten allerseits!
> 
> Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine
> Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
> der Meßtechnik.
> 
> Rechnerisch wären dabei a, k und tau aus mehreren (fehlerbehafteten)
> Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber
> als konstant angenommen werden. Und dafür suche ich jetzt einen
> praktischen Ansatz.

Ich habe vor ca. 20 Jahren soetwas programmiert, allerdings
war bekannt in welchem bereich tau liegt.
Bei bekanntem tau ist das ein ueberbestimmtes lineares Gleichungssystem
und man kann  direkt a k und die Summe der Quadrate der Abweichungen berechnen.
Ich habe den moeglichen Bereich fuer Tau in 100 Schritte zerlegt,
fuer alle den leaest squares-fit berechnet und den besten davon genommen,
das war am simpelsten.

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#101459

Carla Schneider schrieb:

> Bei bekanntem tau ist das ein ueberbestimmtes lineares Gleichungssystem
> und man kann  direkt a k und die Summe der Quadrate der Abweichungen berechnen.
> Ich habe den moeglichen Bereich fuer Tau in 100 Schritte zerlegt,
> fuer alle den leaest squares-fit berechnet und den besten davon genommen,
> das war am simpelsten.

Ein interessanter Ansatz, muß ich mir mal durch den Kopf gehen lassen :-)

DoDi

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#101533

Hans-Peter Diettrich schrieb:

> Es geht um die Bestimmung des asymptotischen 
> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal 
> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem 
> der Meßtechnik.

Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden 
Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.

Ausgehend von der Beziehung für a=0
   n = y0/y1 = y1/y2 = ... = y(t)/y(t+dt)
[siehe Wikipedia: Halbwertszeit]
und dem Einarbeiten der Asymptote als Offset der Meßwerte
   y(t)=a+f(t)
   n = (y0-a)/(y1-a) = ... = (y(t)-a)/(y(t+dt)-a)

ergibt sich daraus die Formel
   a = (y1²-y0*y2)/(2*y1-y0-y2)

Bleibt noch ein Verfahren zum Umgang mit fehlerbehafteten Meßwerten zu 
finden, aber dazu gibt es ja schon reichlich Literatur. Eine Simulation 
mit idealen Werten und 32 bit Realzahlen liefert für a, n und tau 
jedenfalls Werte auf mindestens 5 Stellen genau. Bei einem Startwert von 
0.01 neben der Asymptote wackelt die 5. Stelle. Liegen die gemessenen 
Werte zu nahe beieinander, kann man zur Vermeidung einer Division durch 
0 auf die ganze Rechnung verzichten, und sich z.B. direkt mit deren 
Mittelwert oder dem letzten Wert für a begnügen.


Damit hat für mich dieses Jahr noch einen guten Abschluß gefunden, 
vielen Dank für die vielen Denkanstöße, und ich wünsche allen Mitlesern 
einen guten Rutsch ins neue Jahr :-)

DoDi

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#101534

Hans-Peter Diettrich wrote:
> 
> Hans-Peter Diettrich schrieb:
> 
> > Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
> > Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
> > nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
> > der Meßtechnik.
> 
> Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden
> Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.

Das kann man natuerlich machen, aber fuer Fehlerbehaftete y W-werte ist es besser 
die Werte so zu ermitteln dass die Summe der Quadrate der Abweichungen fuer alle y 
die man hat minimal wird - und nicht fuer 3 doch beliebig ausgewaehlte gleich Null.
Also sowas wie: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression

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#101587

Carla Schneider schrieb:
> Hans-Peter Diettrich wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>>
>>> Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
>>> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
>>> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
>>> der Meßtechnik.
>> Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden
>> Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.
> 
> Das kann man natuerlich machen, aber fuer Fehlerbehaftete y W-werte ist es besser 
> die Werte so zu ermitteln dass die Summe der Quadrate der Abweichungen fuer alle y 
> die man hat minimal wird - und nicht fuer 3 doch beliebig ausgewaehlte gleich Null.
> Also sowas wie: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression

Danke für den Hinweis, aber mir ging es erst mal darum, die Funktion in 
den Griff zu bekommen. Ob sich Lineare Regression auf einen 
exponentiellen Verlauf anwenden läßt, wäre erst noch zu prüfen. Ich 
könnte mir z.B. vorstellen, daß man a daraufhin optimiert, daß die 
Abweichungen von n aus (y(t)-a)/(y(t+dt)-a) minimal werden. Das kann man 
jetzt ausprobieren, oder einen gestandenen Mathematiker fragen, welche 
Verfahren unter welchen Bedingungen am besten für dieses Problem 
geeignet wären.

DoDi

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#101697

Hans-Peter Diettrich wrote:
> 
> Carla Schneider schrieb:
> > Hans-Peter Diettrich wrote:
> >> Hans-Peter Diettrich schrieb:
> >>
> >>> Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
> >>> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
> >>> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
> >>> der Meßtechnik.
> >> Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden
> >> Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.
> >
> > Das kann man natuerlich machen, aber fuer Fehlerbehaftete y W-werte ist es besser
> > die Werte so zu ermitteln dass die Summe der Quadrate der Abweichungen fuer alle y
> > die man hat minimal wird - und nicht fuer 3 doch beliebig ausgewaehlte gleich Null.
> > Also sowas wie: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression
> 
> Danke für den Hinweis, aber mir ging es erst mal darum, die Funktion in
> den Griff zu bekommen. Ob sich Lineare Regression auf einen
> exponentiellen Verlauf anwenden läßt, wäre erst noch zu prüfen.

Bei vorgegebenem tau geht das, und man bekommt a und k heraus und die Summe
der Fehlerquadrate.
Dann braucht man nur noch das tau zu finden wofuer das minimal wird,
z.B. indem alle moeglichen tau durchprobiert werden.

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