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Gibt es eine dritte Alternative?

Started by	wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de>
First post	2026-05-27 14:29 +0200
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  Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-05-27 14:29 +0200
    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-27 16:17 +0200
      Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-27 16:36 +0200
        Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 00:04 +0200
          Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 06:16 +0200
            Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 06:28 +0200
              Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 13:22 +0200
                Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 16:01 +0200
                  Achtung - Schreibfehler ! Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 16:09 +0200
                  Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 18:59 +0200
                    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 20:59 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-29 03:32 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? Carlos Naplos <carna@onlinehome.de> - 2026-05-29 12:33 +0200
                        Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-29 13:46 +0200
    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 00:02 +0200
      Re: Gibt es eine dritte Alternative? WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-05-28 15:02 +0200
        Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 18:57 +0200
        Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-05-31 17:22 +0200
          Re: Gibt es eine dritte Alternative? WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-01 16:25 +0200
            Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 16:55 +0200
            Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 16:56 +0200
              Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 17:08 +0200
                Re: Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-01 18:39 +0200
                  Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 19:33 +0200
                    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 19:45 +0200
                    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 21:35 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-01 22:18 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 22:40 +0200
                        Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 23:08 +0200
                    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 23:52 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 23:58 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 23:58 +0200
                  Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-02 08:19 +0200
                    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-02 08:23 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:42 +0200
                        Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-02 16:27 +0200
              Re: Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-01 18:42 +0200
                Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 19:13 +0200
                  Re: Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-01 22:25 +0200
                    Re: Gibt es eine dritte Alternative? Alan Mackenzie <acm@muc.de> - 2026-06-01 21:59 +0000
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 00:10 +0200
                      Re: Gibt es eine dritte Alternative? WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:37 +0200
                    Ordinalzahlen (was: Gibt es eine dritte Alternative?) Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 04:18 +0200
                      Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 04:32 +0200
                        Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:45 +0200
                        Re: Ordinalzahlen Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-06-16 23:05 +0000
                          Re: Ordinalzahlen Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-06-17 00:55 +0000
                            Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-17 08:20 +0200
                              Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-18 04:57 +0200
                                Alphabet (was: Ordinalzahlen) Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-22 13:36 +0200
                            Re: Ordinalzahlen Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-06-28 23:53 +0000
                              Re: Ordinalzahlen wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-29 09:46 +0200
                                Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-29 10:02 +0200
                                  Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-29 13:15 +0200
                                    Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-29 17:32 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-06-29 17:38 +0200
                                        Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-29 18:58 +0200
                                          Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-30 04:03 +0200
                                        Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-30 04:18 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-30 04:01 +0200
                          Re: Ordinalzahlen ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) - 2026-06-17 10:48 +0000
                            Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-17 14:08 +0200
                          Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-17 14:05 +0200
                      Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:40 +0200
                        Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-02 16:05 +0200
                          Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 20:58 +0200
                            Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-03 08:20 +0200
                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-03 17:27 +0200
                                Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-03 22:15 +0200
                        Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 20:56 +0200
                          Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 21:33 +0200
                          Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 21:44 +0200
                            Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 22:33 +0200
                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 23:37 +0200
                                Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-03 22:35 +0200
                                  Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-04 08:18 +0200
                                    Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 17:59 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-04 18:14 +0200
                                        Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 18:40 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 18:23 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-05 02:50 +0200
                                        Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-05 03:06 +0200
                                          Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-05 03:13 +0200
                                            Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-05 16:05 +0200
                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 23:38 +0200
                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 23:42 +0200
                                Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-03 00:04 +0200
                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-03 22:45 +0200
                              Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-03 22:33 +0200
                                Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-04 06:03 +0200
                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 15:36 +0200
                                  Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-04 22:34 +0200
                                    Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-05 04:09 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-05 04:52 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 00:59 +0200
                                      Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 02:32 +0200
                                        Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 02:37 +0200
                                        Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-06 10:06 +0200
                                          Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 22:17 +0200
                                            Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-07 09:32 +0200
                                              Re: Ordinalzahlen Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2026-06-07 12:24 +0000
                                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 16:24 +0200
                                                Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 16:39 +0200
                                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 17:06 +0200
                                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 17:08 +0200
                                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 17:19 +0200
                                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 17:23 +0200
                                                Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-07 20:21 +0200
                                                  Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-07 20:31 +0200
                                                    Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 20:55 +0200
                                                      Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-07 22:02 +0200
                                                        Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 23:18 +0200
                                                          Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-08 06:23 +0200
                                                        Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-08 19:58 +0200
                                                          Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 20:49 +0200
                                                            Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-08 20:55 +0200
                                                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 22:38 +0200
                                                    Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 20:57 +0200
                                                    Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 21:17 +0200
                                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 20:41 +0200
                                                    Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-07 22:18 +0200
                                                      Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-07 23:45 +0200
                                                        Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-08 06:35 +0200
                                                          Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-08 06:50 +0200
                                                            Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 18:33 +0200
                                                            Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 18:35 +0200
                                                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 18:38 +0200
                                                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 18:39 +0200
                                                            Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 18:45 +0200
                                                              Kardinalzahlen (was: Ordinalzahlen) Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 19:12 +0200
                                                                Re: Kardinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 19:26 +0200
                                                                Re: Kardinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-09 08:22 +0200
                                                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 19:36 +0200
                                                                Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-08 20:54 +0200
                                                                  Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 22:14 +0200
                                                              Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-09 03:11 +0200
                                                          Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-08 18:08 +0200
                          Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 23:46 +0200
                  Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-02 08:30 +0200
        Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-05-31 17:26 +0200

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#143705 — Re: Ordinalzahlen

From	Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com>
Date	2026-06-07 22:18 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1104jm6$hi7i$1@solani.org>
In reply to	#143699

Am 07.06.2026 um 20:41 schrieb Moebius:
> Am 07.06.2026 um 20:21 schrieb Jens Kallup:
>> Am 07.06.2026 um 16:24 schrieb Moebius:
>>> Also ist aleph_0 - 1 = aleph_0 und nicht = aleph_1.
>>>
>>> Aber viell. hast Du Dich nur vertippt und [es] hätte
>>>
>>>      aleph_1 - 1 = aleph_1


>> Aber hatten wir nicht vor einigen Wochen schon die Diskussion, das es in
>> den mathematischen Bereichen sehr wichtig ist, an welcher Stelle was ge-
>> schrieben wird ?
> 
> Jetzt, wo Du es erwähnst... Ja, das ist (manchmal) sehr wichtig.
> 
> So ist z. B.
> 
>      aleph_0 + 1 = aleph_0 ,


> ABER
>      omega + 1 =/= omega .
> 
>> heute kommt dazu (wenn ich das richtig gelesen habe):
>>
>> - aleph_0 = - aleph_1 = - aleph_2 = - alpeh_3 = - aleph_4 = 
> 
> Ich habe den "fragwürdigen" Teil mal gelöscht. Weil ich hier nicht 
> diskutieren will. Ich kann Dir aber mitteilen, dass die oben genannten 
> Zahlen sog. KARDINALZAHLEN sind.
> 
> Und zwar gilt, dass aleph_0 (per definitionem) die kleinste unendliche 
> Kardinalzahl ist. Insbesondere ist
> 
>      card(IN) = aleph_0 .
> 
> (Aber auch card(Z) = card(Q) = aleph_0.)
> 
> Die NÄCHSTGRÖßERE (unendliche) Kardinalzahl ist dann (per definitionem) 
> aleph_1, danach kommt aleph_2, aleph_3, usw.
> 
> Man kann das auch so hinschreiben:
> 
>      0 < 1 < 2 < 3 < ... < aleph_0 < aleph_1 < aleph_2 < ...
> 
> Anmerkung: Wenn wir die sog. Kontinuumshypothese als wahr akzeptieren 
> (d. h. sie als Axiom anerkennen), dann ist aleph_1 die Mächtigkeit der 
> Menge der reellen Zahlen. Es gilt dann also
> 
>      card(IR) = aleph_1 .

wenn aleph_0 die kleinste          Kardinalität/Mächtigkeit ist, und:
wenn aleph_1 die nächst 1. größere Kardinalität/Mächtigkeit ist, und:
wenn aleph_2 die nächst 2. größere Kardinalität/Mächtigkeit ist, und:
wenn aleph_n die nächst n. größere Kardinalität/Mächtigkeit ist,

wie kommt man dann von    aleph_1 - 1 auf aleph_0 ?
weil: aleph_1 liegt ja an aleph_0 + 1 ?

sonst könnte man doch nicht schreiben:

aleph_0 < aleph_1 < aleph_n < ... ?  oder anders (jetzt exemplarisch):
       0 <       1 <       n < ...

weil, dann hätten wir das 0-Problem - wo fängt die Kette an, wo hört sie
auf ?

Jens

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#143707 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-07 23:45 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1104oq3$2qddg$1@dont-email.me>
In reply to	#143705

Am 07.06.2026 um 22:18 schrieb Jens Kallup:
> Am 07.06.2026 um 20:41 schrieb Moebius:

KARDINALZAHLEN

>> [es] gilt, dass aleph_0 (per definitionem) die kleinste unendliche 
>> Kardinalzahl ist. Insbesondere ist
>>
>>      card(IN) = aleph_0 .
>>
>> (Aber auch card(Z) = card(Q) = aleph_0.)
>>
>> Die NÄCHSTGRÖßERE (unendliche) Kardinalzahl ist dann (per 
>> definitionem) aleph_1, danach kommt aleph_2, aleph_3, usw.
>>
>> Man kann das auch so hinschreiben:
>>
>>      0 < 1 < 2 < 3 < ... < aleph_0 < aleph_1 < aleph_2 < ...
>>
>> Anmerkung: Wenn wir die sog. Kontinuumshypothese als wahr akzeptieren 
>> (d. h. sie als Axiom anerkennen), dann ist aleph_1 die Mächtigkeit der 
>> Menge der reellen Zahlen. Es gilt dann also
>>
>>      card(IR) = aleph_1 .
>> 
> wenn aleph_0 die kleinste Kardinalität/Mächtigkeit ist, und:
> wenn aleph_1 die nächst 1. größere Kardinalität/Mächtigkeit ist, und:
> wenn aleph_2 die nächst 2. größere Kardinalität/Mächtigkeit ist, und:
> wenn aleph_n die nächst n. größere Kardinalität/Mächtigkeit ist, usw.
> 
> wie kommt man dann vo aleph_0 auf aleph_1 ?

Gute Frage, jedenfalls nicht so:

	aleph_0, aleph_0 + 1, aleph_0 + 2, ... ;

denn -wie schon erklärt- das ist nichts anderes als

	aleph_0, aleph_0, aleph_0, ... .

Hinweis: Das nicht GANZ SO EINFACH ZU VERSTEHEN. :-P

Was ich Dir dazu sagen kann, ist das folgende:

Cantor hat bewiesen, dass

	card(P(M)) > card(M)     [P(M) ist die Potenzmenge von M]

ist für jede bel. Menge M.

D. h. dass es in jedem Fall zu einer bel. Kardinalzahl K eine größere 
KardinalZahl K' gibt. Wenn wir von K = aleph_0 ausgehen, dann wissen wir 
also, dass es größere Kardinalzahlen als aleph_0 gibt. aleph_1 ist nun 
definiert als die kleinste Kardinalzahl, die größer als aleph_0 ist.

Nuff said.



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#143709 — Re: Ordinalzahlen

From	Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com>
Date	2026-06-08 06:35 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1105grg$i4kk$1@solani.org>
In reply to	#143707

Am 07.06.2026 um 23:45 schrieb Moebius:
> Am 07.06.2026 um 22:18 schrieb Jens Kallup:
>> Am 07.06.2026 um 20:41 schrieb Moebius:
> 
> KARDINALZAHLEN
> 

>> wie kommt man dann vo aleph_0 auf aleph_1 ?
> 
> Gute Frage, jedenfalls nicht so:
> 
>      aleph_0, aleph_0 + 1, aleph_0 + 2, ... ;
> 
> denn -wie schon erklärt- das ist nichts anderes als
> 
>      aleph_0, aleph_0, aleph_0, ... .
> 
> Hinweis: Das nicht GANZ SO EINFACH ZU VERSTEHEN. :-P
> 
> Was ich Dir dazu sagen kann, ist das folgende:
> 
> Cantor hat bewiesen, dass
> 
>      card(P(M)) > card(M)     [P(M) ist die Potenzmenge von M]
> 
> ist für jede bel. Menge M.
> 
> D. h. dass es in jedem Fall zu einer bel. Kardinalzahl K eine größere 
> KardinalZahl K' gibt. Wenn wir von K = aleph_0 ausgehen, dann wissen wir 
> also, dass es größere Kardinalzahlen als aleph_0 gibt. aleph_1 ist nun 
> definiert als die kleinste Kardinalzahl, die größer als aleph_0 ist.
Und was für mich auch nicht so einfach zu verstehen ist:
- wer legt denn fest, das aleph_2 "das" Alephi vor aleph_3 und aleph_1
   ist - also ich kann mir nicht so recht vorstellen, das aleph_2 genau
   größer ist, das es in aleph_3 oder aleph_1 in aleph_2 passt ?

- soll heißen: ich weiß nicht, wie groß oo ist, was dann sicherlich auch
   kein anderes Menschlein wissen kann

- vieleicht verläuft sich ja auch ALLES in eins (1) - in eins (1) System
   so dass:

   aleph_0 = aleph_0 = aleph_0 = ...
         1 =       1 =       1 = ...

   ist, wie Du schon geschrieben hattest ... ?

Jens

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#143710 — Re: Ordinalzahlen

From	Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com>
Date	2026-06-08 06:50 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1105hn3$i54s$1@solani.org>
In reply to	#143709

Am 08.06.2026 um 06:35 schrieb Jens Kallup:
> Am 07.06.2026 um 23:45 schrieb Moebius:
>> Am 07.06.2026 um 22:18 schrieb Jens Kallup:
>>> Am 07.06.2026 um 20:41 schrieb Moebius:
>>
>> KARDINALZAHLEN

>>> wie kommt man dann vo aleph_0 auf aleph_1 ?
>>
>> Gute Frage, jedenfalls nicht so:
>>
>>      aleph_0, aleph_0 + 1, aleph_0 + 2, ... ;
>>

> - wer legt denn fest, das aleph_2 "das" Alephi vor aleph_3 und aleph_1
>    ist - also ich kann mir nicht so recht vorstellen, das aleph_2 genau
>    größer ist, das es in aleph_3 oder aleph_1 in aleph_2 passt ?
> 
> - soll heißen: ich weiß nicht, wie groß oo ist, was dann sicherlich auch
>    kein anderes Menschlein wissen kann


- kardinale Objekte beschreiben die Anzahl   der Elemente in einer Menge
- ordinale  Objekte beschreiben die Position der Elemente in einer Menge

Weil dann nicht gesagt werden kann, dass das 2. Element (aleph_2 - die
dritte, kleinste Mächtigkeit - hier ist aleph_2 das kardinale Objekt und
der Zusatz "dritte (Element)" ist hier dann das ordinal Objekt) größer/
kleiner ist als ein anderes Aleph.

Jens

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#143713 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 18:33 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1106qtl$3c4s1$1@dont-email.me>
In reply to	#143710

Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:

> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge

Ja, so kann man es sehen/sagen.

"In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
meaning the number of individual objects they contain, which may be 
infinite." (Wikipedia)

Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern von 
der "Mächtigkeit der Menge" muss; aber das halte ich für übertrieben. 
(Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)

> - [Ordinalzahlen] beschreiben die Position der Elemente in einer Menge

Viell. Besser "in einer Anordnung", denke ich. (Eine Menge ist ja ALS 
SOLCHE erst mal nicht geordnet.)

Die Google-KI dazu:

Ordinal numbers are numbers that define the position or order of 
something in a sequence (e.g., first, second, third). They answer the 
question "Which one?" rather than "How many?"

~~~~~~~~~~~~~~

Der Unterschied: Eine Menge M = {§, %, $} ist erst mal (per se) nicht 
geordnet. (Dass man die Namen/Bezeichnungen der Elemente dieser Menge in 
einer Ordnung HINSCHREIBT ändert daran nichts, denn es gilt bekanntlich: 
{§, %, $} = {%, §, $} = {$, §, %} usw.)

Wenn man diese Menge "abstrakt" beschreibt, wird man diesem Sachverhalt 
wohl eher gerecht, man könnte das z. B. wie folgt tun:

	x e M <-> x = § v x = % v x = $     (*)
	"x ist ein Element der Menge M genau dann, wenn x = §, = % oder = $ ist."

Aus der Definition (*) folgt dann:

	§ e M  &  % e M  &  $ e M
	"§, % und $ sind Elemente der Menge."

sowie

	x =/= §  &  x =/= %  &  x =/= $ -> x !e M .
	"Kein anderes Objekt (als §, % oder $) ist Element der Menge."

Von "Ordnung" also keine Spur.

Dennoch macht es Sinn von der Kardinalität dieser Menge zu sprechen:

	card(M) = 3.

Die Menge enthält 3 Elemente.

~~~~~~~~~~~~~~

Wenn nur aber im Gegensatz zur MENGE die FOLGE

	(§, %, $)

betrachten, deren Terme §, % und $ sind, dann macht es Sinn vom 1. 
Element dieser Folge, vom 2. Element dieser Folge usw. zu sprechen.

Hinweis: Die natürlichen Zahlen können sowohl als Kardinalzahlen als 
auch als Ordinalzahlen "aufgefasst"/verwendet werden.

Der Unterschied fällt erst bei unendlichen Kardinalzahlen/Ordinalzahlen 
"ins Gewicht".

Hinweis:

	alpeh_0 = alpeh_0 + 1 = alpeh_0 + 2 = ...

	omega < omega + 1 < omega + 2 < ...

.
.
.


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#143714 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 18:35 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1106qvo$3c4s1$2@dont-email.me>
In reply to	#143710

Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:

> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge

Ja, so kann man es sehen/sagen.

"In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
meaning the number of individual objects they contain, which may be 
infinite." (Wikipedia)

Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern von 
der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für 
übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)

> - [Ordinalzahlen] beschreiben die Position der Elemente in einer Menge

Viell. Besser "in einer Anordnung", denke ich. (Eine Menge ist ja ALS 
SOLCHE erst mal nicht geordnet.)

Die Google-KI dazu:

Ordinal numbers are numbers that define the position or order of 
something in a sequence (e.g., first, second, third). They answer the 
question "Which one?" rather than "How many?"

~~~~~~~~~~~~~~

Der Unterschied: Eine Menge M = {§, %, $} ist erst mal (per se) nicht 
geordnet. (Dass man die Namen/Bezeichnungen der Elemente dieser Menge in 
einer Ordnung HINSCHREIBT ändert daran nichts, denn es gilt bekanntlich: 
{§, %, $} = {%, §, $} = {$, §, %} usw.)

Wenn man diese Menge "abstrakt" beschreibt, wird man diesem Sachverhalt 
wohl eher gerecht, man könnte das z. B. wie folgt tun:

	x e M <-> x = § v x = % v x = $     (*)
	"x ist ein Element der Menge M genau dann, wenn x = §, = % oder = $ ist."

Aus der Definition (*) folgt dann:

	§ e M  &  % e M  &  $ e M
	"§, % und $ sind Elemente der Menge."

sowie

	x =/= §  &  x =/= %  &  x =/= $ -> x !e M .
	"Kein anderes Objekt (als §, % oder $) ist Element der Menge."

Von "Ordnung" also keine Spur.

Dennoch macht es Sinn von der Kardinalität dieser Menge zu sprechen:

	card(M) = 3.

Die Menge enthält 3 Elemente.

~~~~~~~~~~~~~~

Wenn nur aber im Gegensatz zur MENGE die FOLGE

	(§, %, $)

betrachten, deren Terme §, % und $ sind, dann macht es Sinn vom 1. 
Element dieser Folge, vom 2. Element dieser Folge usw. zu sprechen.

Hinweis: Die natürlichen Zahlen können sowohl als Kardinalzahlen als 
auch als Ordinalzahlen "aufgefasst"/verwendet werden.

Der Unterschied fällt erst bei unendlichen Kardinalzahlen/Ordinalzahlen 
"ins Gewicht".

Hinweis:

	alpeh_0 = alpeh_0 + 1 = alpeh_0 + 2 = ...

	omega < omega + 1 < omega + 2 < ...

.
.
.


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#143715 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 18:38 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1106r63$3c7ln$1@dont-email.me>
In reply to	#143714

Am 08.06.2026 um 18:35 schrieb Moebius:
> Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:
>> 
>> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge
>> 
> Ja, so kann man es sehen/sagen.
> 
> "In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
> meaning the number of individual objects they contain, which may be 
> infinite." (Wikipedia)
> 
> Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
> nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern von 
> der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für 
> übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)
>> 
>> - [Ordinalzahlen] beschreiben die Position der Elemente in einer Menge
>> 
> Viell. Besser "in einer Anordnung", denke ich. (Eine Menge ist ja ALS 
> SOLCHE erst mal nicht geordnet.)
> 
> Die Google-KI dazu:
> 
> Ordinal numbers are numbers that define the position or order of 
> something in a sequence (e.g., first, second, third). They answer the 
> question "Which one?" rather than "How many?"
> 
> ~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Der Unterschied: Eine Menge M = {§, %, $} ist erst mal (per se) nicht 
> geordnet. (Dass man die Namen/Bezeichnungen der Elemente dieser Menge in 
> einer Ordnung HINSCHREIBT ändert daran nichts, denn es gilt bekanntlich: 
> {§, %, $} = {%, §, $} = {$, §, %} usw.)
> 
> Wenn man diese Menge "abstrakt" beschreibt, wird man diesem Sachverhalt 
> wohl eher gerecht, man könnte das z. B. wie folgt tun:
> 
>      x e M <-> x = § v x = % v x = $     (*)
>      "x ist ein Element der Menge M genau dann, wenn x = §, = % oder = $ 
> ist."
> 
> Aus der Definition (*) folgt dann:
> 
>      § e M  &  % e M  &  $ e M
>      "§, % und $ sind Elemente der Menge."
> 
> sowie
> 
>      x =/= §  &  x =/= %  &  x =/= $ -> x !e M .
>      "Kein anderes Objekt (als §, % oder $) ist Element der Menge."
> 
> Von "Ordnung" also keine Spur.
> 
> Dennoch macht es Sinn von der Kardinalität dieser Menge zu sprechen:
> 
>      card(M) = 3.
> 
> Die Menge enthält 3 Elemente.

Wenn wir voraussetzen, dass §, % und $ "paarweise verschieden" sind, 
wenn also § =/= %, § =/= $ und % =/= $ gilt. (Sorry.)

> ~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Wenn nur aber im Gegensatz zur MENGE die FOLGE
> 
>      (§, %, $)
> 
> betrachten, deren Terme §, % und $ sind, dann macht es Sinn vom 1. 
> Element dieser Folge, vom 2. Element dieser Folge usw. zu sprechen.
> 
> Hinweis: Die natürlichen Zahlen können sowohl als Kardinalzahlen als 
> auch als Ordinalzahlen "aufgefasst"/verwendet werden.
> 
> Der Unterschied fällt erst bei unendlichen Kardinalzahlen/Ordinalzahlen 
> "ins Gewicht".
> 
> Hinweis:
> 
>      alpeh_0 = alpeh_0 + 1 = alpeh_0 + 2 = ...
> 
>      omega < omega + 1 < omega + 2 < ...
> 
> .
> .
> .
> 
> 


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#143716 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 18:39 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1106r8q$3c7ln$2@dont-email.me>
In reply to	#143714

Am 08.06.2026 um 18:35 schrieb Moebius:
> Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:
>> 
>> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge
>> 
> Ja, so kann man es sehen/sagen.
> 
> "In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
> meaning the number of individual objects they contain, which may be 
> infinite." (Wikipedia)
> 
> Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
> nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern von 
> der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für 
> übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)
>> 
>> - [Ordinalzahlen] beschreiben die Position der Elemente in einer Menge
>> 
> Viell. Besser "in einer Anordnung", denke ich. (Eine Menge ist ja ALS 
> SOLCHE erst mal nicht geordnet.)
> 
> Die Google-KI dazu:
> 
> Ordinal numbers are numbers that define the position or order of 
> something in a sequence (e.g., first, second, third). They answer the 
> question "Which one?" rather than "How many?"
> 
> ~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Der Unterschied: Eine Menge M = {§, %, $} ist erst mal (per se) nicht 
> geordnet. (Dass man die Namen/Bezeichnungen der Elemente dieser Menge in 
> einer Ordnung HINSCHREIBT ändert daran nichts, denn es gilt bekanntlich: 
> {§, %, $} = {%, §, $} = {$, §, %} usw.)
> 
> Wenn man diese Menge "abstrakt" beschreibt, wird man diesem Sachverhalt 
> wohl eher gerecht, man könnte das z. B. wie folgt tun:
> 
>      x e M <-> x = § v x = % v x = $     (*)
>      "x ist ein Element der Menge M genau dann, wenn x = §, = % oder = $ 
> ist."
> 
> Aus der Definition (*) folgt dann:
> 
>      § e M  &  % e M  &  $ e M
>      "§, % und $ sind Elemente der Menge."
> 
> sowie
> 
>      x =/= §  &  x =/= %  &  x =/= $ -> x !e M .
>      "Kein anderes Objekt (als §, % oder $) ist Element der Menge."
> 
> Von "Ordnung" also keine Spur.
> 
> Dennoch macht es Sinn von der Kardinalität dieser Menge zu sprechen:
> 
>      card(M) = 3.
> 
> Die Menge enthält 3 Elemente.

Wenn wir voraussetzen, dass §, % und $ "paarweise verschieden" sind, 
wenn also § =/= %, § =/= $ und % =/= $ gilt. (Sorry.)

> ~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Wenn nur aber im Gegensatz zur MENGE M die FOLGE
> 
>      (§, %, $)
> 
> betrachten, deren Terme §, % und $ sind, dann macht es Sinn vom 1. 
> Element dieser Folge, vom 2. Element dieser Folge usw. zu sprechen.
> 
> Hinweis: Die natürlichen Zahlen können sowohl als Kardinalzahlen als 
> auch als Ordinalzahlen "aufgefasst"/verwendet werden.
> 
> Der Unterschied fällt erst bei unendlichen Kardinalzahlen/Ordinalzahlen 
> "ins Gewicht".
> 
> Hinweis:
> 
>      alpeh_0 = alpeh_0 + 1 = alpeh_0 + 2 = ...
> 
>      omega < omega + 1 < omega + 2 < ...
> 
> .
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> 
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#143717 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 18:45 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1106rje$3cc6t$1@dont-email.me>
In reply to	#143710

Da capo.

Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:

> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge

Ja, so kann man es sehen/sagen.

"In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
meaning the number of individual objects they contain, which may be 
infinite." (Wikipedia)

Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern von 
der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für 
übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)

> - [Ordinalzahlen] beschreiben die Position der Elemente in einer Menge

Viell. Besser "in einer Anordnung", denke ich. (Eine Menge ist ja ALS 
SOLCHE erst mal nicht geordnet.)

Die Google-KI dazu:

Ordinal numbers are numbers that define the position or order of 
something in a sequence (e.g., first, second, third). They answer the 
question "Which one?" rather than "How many?"

~~~~~~~~~~~~~~

Der Unterschied: Eine Menge M = {§, %, $} ist erst mal (per se) nicht 
geordnet. (Dass man die Namen/Bezeichnungen der Elemente dieser Menge in 
einer Ordnung HINSCHREIBT, ändert daran nichts, denn es gilt 
bekanntlich: {§, %, $} = {%, §, $} = {$, §, %} usw.)

Wenn man diese Menge "abstrakt" beschreibt, wird man diesem Sachverhalt 
wohl eher gerecht, man könnte das z. B. wie folgt tun:

	x e M <-> x = § v x = % v x = $     (*)
	"x ist ein Element der Menge M genau dann, wenn x = §, = % oder = $ ist."

Aus der Definition (*) folgt dann:

	§ e M  &  % e M  &  $ e M
	"§, % und $ sind Elemente der Menge M."

sowie

	x =/= §  &  x =/= %  &  x =/= $ -> x !e M .
	"Kein anderes Objekt (als §, % oder $) ist Element der Menge M."

Von "Ordnung" also keine Spur.

Andererseits macht es durchaus Sinn von der Kardinalität (Anzahl der 
Elemente) dieser Menge zu sprechen:

	card(M) = 3.

Die Menge enthält 3 Elemente. [Wenn wir voraussetzen, dass §, % und $ 
"paarweise verschieden" sind, wenn also § =/= %, § =/= $ und % =/= $ gilt.]

~~~~~~~~~~~~~~

Wenn nur aber im Gegensatz zur MENGE M die FOLGE

	(§, %, $)

betrachten, deren Terme §, % und $ sind, dann macht es Sinn vom 1. 
Element dieser Folge, vom 2. Element dieser Folge usw. zu sprechen.

Hinweis: Die natürlichen Zahlen können sowohl als Kardinalzahlen als 
auch als Ordinalzahlen "aufgefasst"/verwendet werden.

Der Unterschied fällt erst bei unendlichen Kardinalzahlen/Ordinalzahlen 
"ins Gewicht".

Hinweis:

	alpeh_0 = alpeh_0 + 1 = alpeh_0 + 2 = ...

	omega < omega + 1 < omega + 2 < ...

.
.
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#143718 — Kardinalzahlen (was: Ordinalzahlen)

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 19:12 +0200
Subject	Kardinalzahlen (was: Ordinalzahlen)
Message-ID	<1106t6q$3ct0j$1@dont-email.me>
In reply to	#143717

Am 08.06.2026 um 18:45 schrieb Moebius:
> Da capo.
> 
> Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:
> 
>> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge
> 
> Ja, so kann man es sehen/sagen.
> 
> "In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
> meaning the number of individual objects they contain, which may be 
> infinite." (Wikipedia)
> 
> Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
> nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern von 
> der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für 
> übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)
Guter Zeitpunkt, einmal den Meister selbst zu Wort kommen zu lassen:

G. CANTOR, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, 1895.

§ 1.

Der Mächtigkeitsbegriff oder die Cardinalzahl.

Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten 
wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens 
(welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.

[...]

Jeder Menge M kommt eine bestimmte 'Mächtigkeit' zu, welche wir auch 
ihre 'Cardinalzahl' nennen.

/'Mächtigkeit' oder 'Cardinalzahl' von M nennen wir den 
Allgemeinbegriff, welcher mit Hülfe unseres activen Denkvermögens 
dadurch aus der Menge M hervorgeht, dass von der Beschaffenheit ihrer 
verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins 
abstrahirt wird./

Das Resultat dieses zweifachen Abstractionsacts, die Cardinalzahl oder 
Mächtigkeit von M, bezeichnen wir mit

		|M| .

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Die oben von Cantor gegebene "Definition" von 'Mächtigkeit' bzw. 
'Cardinalzahl' ist reichlich verschwurbelt und wird daher auch heute 
nicht mehr als Definition derselben anerkannt. Immerhin deutet Cantor 
damit an, was er mit 'Mächtigkeit' bzw. 'Cardinalzahl' "meint". Offenbar 
spielen in diesem Zusammenhang weder die konkrete "Natur" (don't aks!) 
der Elemente der betrachteten Menge, noch deren "Anordnung" (don't ask!) 
eine Rolle. Frege hat das -schon vor 1895- wesentlich besser gemacht.

Tatsache ist, dass man diesen Begriff ('Mächtigkeit' bzw. 
'Kardinalzahl') heute (im Kontext der axiomatischen Mengenlehre) 
einwandfrei definieren kann und die so definierten Kardinalzahlen genau 
die Eigenschaften besitzen, die ihnen Cantor schon "zugeschrieben" hatte.

.
.
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#143719 — Re: Kardinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 19:26 +0200
Subject	Re: Kardinalzahlen
Message-ID	<1106u08$3d6fk$1@dont-email.me>
In reply to	#143718

Am 08.06.2026 um 19:12 schrieb Moebius:
> Am 08.06.2026 um 18:45 schrieb Moebius:
>> Da capo.
>>
>> Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:
>>
>>> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge
>>
>> Ja, so kann man es sehen/sagen.
>>
>> "In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
>> meaning the number of individual objects they contain, which may be 
>> infinite." (Wikipedia)
>>
>> Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
>> nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern 
>> von der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für 
>> übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)
> Guter Zeitpunkt, einmal den Meister selbst zu Wort kommen zu lassen:
> 
> G. CANTOR, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, 1895.
> 
> § 1.
> 
> Der Mächtigkeitsbegriff oder die Cardinalzahl.
> 
> Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten 
> wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens 
> (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Schon diese anschauliche "Beschreibung" dessen, was eine Menge sein 
soll, lässt reichlich Raum für "Spekulationen" ("Interpretationen").

Kann man ein einzelnen Objekt m "zu einer Menge" {m} "zusammenfassen", 
so dass {m} =/= m ist? (M. E. kann/darf man das durchaus zu Recht 
bezweifeln.) Noch deutlicher wird das in Bezug auf "die leere Menge". 
Kann man NICHTS zu einer Menge "zusammenfassen"? Dem Wortlaut von 
Cantors "Definition" nach wohl eher nicht, denn er spricht da ja "von 
bestimmten wohlunterschiedenen Objecten", die "zu einem Ganzen 
zusammengefasst" werden. Mir scheint, dass das eine "leere Menge" 
ausschließt.

Tatsächlich "definiert" hier Cantor m. E. eher etwas, was heute ihm 
Rahmen der Mereologie betrachtet wird.

> [...]
> 
> Jeder Menge M kommt eine bestimmte 'Mächtigkeit' zu, welche wir auch 
> ihre 'Cardinalzahl' nennen.
> 
> /'Mächtigkeit' oder 'Cardinalzahl' von M nennen wir den 
> Allgemeinbegriff, welcher mit Hülfe unseres activen Denkvermögens 
> dadurch aus der Menge M hervorgeht, dass von der Beschaffenheit ihrer 
> verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins 
> abstrahirt wird./
> 
> Das Resultat dieses zweifachen Abstractionsacts, die Cardinalzahl oder 
> Mächtigkeit von M, bezeichnen wir mit
> 
>          |M| .
> 
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Die oben von Cantor gegebene "Definition" von 'Mächtigkeit' bzw. 
> 'Cardinalzahl' ist reichlich verschwurbelt und wird daher auch heute 
> nicht mehr als Definition derselben anerkannt. Immerhin deutet Cantor 
> damit an, was er mit 'Mächtigkeit' bzw. 'Cardinalzahl' "meint". Offenbar 
> spielen in diesem Zusammenhang weder die konkrete "Natur" (don't aks!) 
> der Elemente der betrachteten Menge, noch deren "Anordnung" (don't ask!) 
> eine Rolle. Frege hat das -schon vor 1895- wesentlich besser gemacht.
> 
> Tatsache ist, dass man diesen Begriff ('Mächtigkeit' bzw. 
> 'Kardinalzahl') heute (im Kontext der axiomatischen Mengenlehre) 
> einwandfrei definieren kann und die so definierten Kardinalzahlen genau 
> die Eigenschaften besitzen, die ihnen Cantor schon "zugeschrieben" hatte.
> 
> .
> .
> .
> 
> 
> 


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#143731 — Re: Kardinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-09 08:22 +0200
Subject	Re: Kardinalzahlen
Message-ID	<1108bf2$3p3i6$1@dont-email.me>
In reply to	#143718

Am 08.06.2026 um 19:12 schrieb Moebius:
> 
> G. CANTOR, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, 1895.
> 
> § 1.
> 
> Der Mächtigkeitsbegriff oder die Cardinalzahl.
> 
> Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten 
> wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens 
> (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.
> 
> [...]
> 
> Jeder Menge M kommt eine bestimmte 'Mächtigkeit' zu, welche wir auch 
> ihre 'Cardinalzahl' nennen.
> 
> /'Mächtigkeit' oder 'Cardinalzahl' von M nennen wir den 
> Allgemeinbegriff, welcher mit Hülfe unseres activen Denkvermögens 
> dadurch aus der Menge M hervorgeht, dass von der Beschaffenheit ihrer 
> verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins 
> abstrahirt wird./
> 
> Das Resultat dieses zweifachen Abstractionsacts, die Cardinalzahl oder 
> Mächtigkeit von M, bezeichnen wir mit
> 
>          |M| .
> 
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Die oben von Cantor gegebene "Definition" von 'Mächtigkeit' bzw. 
> 'Cardinalzahl' ist reichlich verschwurbelt und wird daher auch heute 
> nicht mehr als Definition derselben anerkannt.

Auch wenn das Typen wie Martin Vaeth und andere (...) nicht zu begreifen 
scheinen.

"Mindere Geister" halt. Etwas bedeutendere Leute (z. B. Zermelo) haben 
das allerdings kapiert.

> Immerhin deutet Cantor 
> damit an, was er mit 'Mächtigkeit' bzw. 'Cardinalzahl' "meint". Offenbar 
> spielen in diesem Zusammenhang weder die konkrete "Natur" (don't aks!) 
> der Elemente der betrachteten Menge, noch deren "Anordnung" (don't ask!) 
> eine Rolle. Frege hat das -schon vor 1895- wesentlich besser gemacht.
> 
> Tatsache ist, dass man diesen Begriff ('Mächtigkeit' bzw. 
> 'Kardinalzahl') heute (im Kontext der axiomatischen Mengenlehre) 
> einwandfrei definieren kann und die so definierten Kardinalzahlen genau 
> die Eigenschaften besitzen, die ihnen Cantor schon "zugeschrieben" hatte.

@Martin Vaeth und andere: Got it?

.
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.


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#143720 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 19:36 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1106ujn$3dcev$1@dont-email.me>
In reply to	#143717

Am 08.06.2026 um 18:45 schrieb Moebius:

>      alpeh_0 = alpeh_0 + 1 = alpeh_0 + 2 = ...

Anschaulich gesprochen (mit konkretem Beispiel):

Die Menge {0, 1, 2, ...} besitzt die selbe Mächtigkeit wie die Menge 
{-1, 0, 2, ...} und die Menge {-2, -1, 0, 1, 2, ...} usw.

>      omega < omega + 1 < omega + 2 < ...

Anschaulich gesprochen:

Die Ordinalzahl omega + 1 kommt (unmittelbar) nach der Ordinalzahl omega 
und die Ordinalzahl omega + 2 (unmittelbar) nach omega + 1 usw.

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#143723 — Re: Ordinalzahlen

From	Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com>
Date	2026-06-08 20:54 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1107362$j9ss$1@solani.org>
In reply to	#143720

Am 08.06.2026 um 19:36 schrieb Moebius:
> Anschaulich gesprochen:
> 
> Die Ordinalzahl omega + 1 kommt (unmittelbar) nach der Ordinalzahl omega 
> und die Ordinalzahl omega + 2 (unmittelbar) nach omega + 1 usw.


Js - eigentlich banal.
Aber:
omega + 1 = omega.
omega + 2 = omega.
...

Jens

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#143725 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 22:14 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<11077qp$3g8oe$1@dont-email.me>
In reply to	#143723

Am 08.06.2026 um 20:54 schrieb Jens Kallup:
> Am 08.06.2026 um 19:36 schrieb Moebius:
>>
>> Die Ordinalzahl omega + 1 kommt (unmittelbar) nach der Ordinalzahl 
>> omega und die Ordinalzahl omega + 2 (unmittelbar) nach omega + 1 usw.
>> 
> Aber:
> omega + 1 = omega.
> omega + 2 = omega.
> ...


Hatte ich nicht schon zig-mal geschrieben:

	omega < omega + 1 < omega + 2 < ...

Viell. meintest Du ja

	aleph_0 + 1 = aleph_0
	aleph_0 + 2 = aleph_0
	...

Wie dem auch sei, jetzt aber wirklich EOD.

.
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.


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#143728 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-09 03:11 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1107p8e$3ktp4$1@dont-email.me>
In reply to	#143717

Am 08.06.2026 um 18:45 schrieb Moebius:

Kleine Korrektur noch.

> Da capo.
> 
> Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:
> 
>> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge
> 
> Ja, so kann man es sehen/sagen.
> 
> "In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly 
> meaning the number of individual objects they contain, which may be 
> infinite." (Wikipedia)
> 
> Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen 
> nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern von 
> der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für 
> übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)
> 
>> - [Ordinalzahlen] beschreiben die Position der Elemente in einer Menge
> 
> Viell. Besser "in einer Anordnung", denke ich. (Eine Menge ist ja ALS 
> SOLCHE erst mal nicht geordnet.)
> 
> Die Google-KI dazu:
> 
> Ordinal numbers are numbers that define the position or order of 
> something in a sequence (e.g., first, second, third). They answer the 
> question "Which one?" rather than "How many?"
> 
> ~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Der Unterschied: Eine Menge M = {§, %, $} ist erst mal (per se) nicht 
> geordnet. (Dass man die Namen/Bezeichnungen der Elemente dieser Menge in 
> einer Ordnung 

besser: in einer bestimmten Reihenfolge

> HINSCHREIBT, ändert daran nichts, denn es gilt 
> bekanntlich: {§, %, $} = {%, §, $} = {$, §, %} usw.)
> 
> Wenn man diese Menge "abstrakt" beschreibt, wird man diesem Sachverhalt 
> wohl eher gerecht, man könnte das z. B. wie folgt tun:
> 
>      x e M <-> x = § v x = % v x = $     (*)
>      "x ist ein Element der Menge M genau dann, wenn x = §, = % oder = $ 
> ist."
> 
> Aus der Definition (*) folgt dann:
> 
>      § e M  &  % e M  &  $ e M
>      "§, % und $ sind Elemente der Menge M."
> 
> sowie
> 
>      x =/= §  &  x =/= %  &  x =/= $ -> x !e M .
>      "Kein anderes Objekt (als §, % oder $) ist Element der Menge M."
> 
> Von "Ordnung" also keine Spur.
> 
> Andererseits macht es durchaus Sinn von der Kardinalität (Anzahl der 
> Elemente) dieser Menge zu sprechen:
> 
>      card(M) = 3.
> 
> Die Menge enthält 3 Elemente. [Wenn wir voraussetzen, dass §, % und $ 
> "paarweise verschieden" sind, wenn also § =/= %, § =/= $ und % =/= $ gilt.]
> 
> ~~~~~~~~~~~~~~
> 
> Wenn nur aber im Gegensatz zur MENGE M die FOLGE
> 
>      (§, %, $)
> 
> betrachten, deren Terme §, % und $ sind, dann macht es Sinn vom 1. 
> Element dieser Folge, vom 2. Element dieser Folge usw. zu sprechen.
> 
> Hinweis: Die natürlichen Zahlen können sowohl als Kardinalzahlen als 
> auch als Ordinalzahlen "aufgefasst"/verwendet werden.
> 
> Der Unterschied fällt erst bei unendlichen Kardinalzahlen/Ordinalzahlen 
> "ins Gewicht".
> 
> Hinweis:
> 
>      alpeh_0 = alpeh_0 + 1 = alpeh_0 + 2 = ...
> 
>      omega < omega + 1 < omega + 2 < ...
> 
> .
> .
> .
> 


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#143712 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-08 18:08 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<1106pdc$3bkhu$1@dont-email.me>
In reply to	#143709

Am 08.06.2026 um 06:35 schrieb Jens Kallup:

> - soll heißen: ich weiß nicht, wie groß oo ist, was dann sicherlich auch
>   kein anderes Menschlein wissen kann

Nun,  d a s  ist ja gerade das Großartige an der von Cantor geschaffenen 
Mengenlehre: Dass es so möglich wurde, hier einen "Größenunterschied" in 
Bezug auf unendlicher Mengen einzuführen/festzustellen.*)

Am Einfachsten kann man das mit der Unterscheidung "abzählbar unendlich" 
vs. "überabzählbar unendlich" erklären.

Abzählbar unendlichen Mengen haben/besitzen die Kardinalität aleph_0. 
überabzählbar unendliche eine die > aleph_0 ist.

Unter der Annahme der Kontinuumshypothese besitzt z. B. IR die 
Kardinalität aleph_1.

Was bedeutet das konkret? Dass es keine BIJEKTION (1-1 Abbildung) 
zwischen Q und IR gibt. Gleichwohl ist Q eine Teilmenge von IR. IN 
DIESEM SINNE kann man also behaupten, dass es (viel) "mehr" reelle 
Zahlen gibt als rationale.

_________________________________________________________________________

*) Das ist eines der Dinge, die Mückenheim heftigst bestreitet - weil er 
es nicht versteht. :-)

.
.
.


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#143657 — Re: Ordinalzahlen

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-06-02 23:46 +0200
Subject	Re: Ordinalzahlen
Message-ID	<10vnivb$37spj$3@dont-email.me>
In reply to	#143647

Am 02.06.2026 um 20:56 schrieb Thomas 'PointedEars' Lahn:

> Dein Logikmodul ist kapott.[tm]

Wie wäre es mit der Variante

           Dein Logikmodul ist Kompott.

?

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#143638

From	Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com>
Date	2026-06-02 08:30 +0200
Message-ID	<10vlt9h$5k6f$1@solani.org>
In reply to	#143620

Am 01.06.2026 um 19:13 schrieb Moebius:
>> Und im Rahmen der klassischen zweiwertigen Logik geht man davon aus, 
>> dass nächst ω eine natürliche Zahl existiert oder nicht existiert. 
> Das haben Sie SEHR RICHTIG erkannt, Herr Prof. Dr. Mückenheim. Es gibt 
> in der Tat "nächst ω" (WM) keine natürliche Zahl.
> 
> Hinweis: An e IN: Em e IN: n < m < ω.
> 
> Und damit können wir es wieder gut sein lassen.


hihi...  nein.

Hinweis:  An e IN: Em e IN: Eo e IN: Ep  e IN: n < m  < o < p < w.
Hinweis:  Aw e IN:                   Ew1 e IN: w < w1 < w2.

Jens

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#143603

From	Moebius <moebius@example.invalid>
Date	2026-05-31 17:26 +0200
Message-ID	<10vhju8$1kbap$2@dont-email.me>
In reply to	#143592

Am 28.05.2026 um 15:02 schrieb WM:

> Die Frage ist: [...] Besitzt also [0, 1) ein [...] Maximum?

Nein, Herr Prof. Dr. Mückenheim. [0, 1) besitzt kein Maximum. Wenn r e 
[0, 1) ist, dann ist r + (1 - r)/2 e [0, 1) größer als r. (Mit anderen 
Worten: zu jedem Element r in [0, 1) gibt es ein Element r' in [0, 1), 
das größer ist als r.)

Haben Sie etwa im Rahmen ihrer Analysis-Vorlesungen etwas anderes 
unterrichtet?

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Gibt es eine dritte Alternative?

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