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Groups > de.sci.mathematik > #143719
| From | Moebius <moebius@example.invalid> |
|---|---|
| Newsgroups | de.sci.mathematik |
| Subject | Re: Kardinalzahlen |
| Date | 2026-06-08 19:26 +0200 |
| Organization | A noiseless patient Spider |
| Message-ID | <1106u08$3d6fk$1@dont-email.me> (permalink) |
| References | (26 earlier) <1104oq3$2qddg$1@dont-email.me> <1105grg$i4kk$1@solani.org> <1105hn3$i54s$1@solani.org> <1106rje$3cc6t$1@dont-email.me> <1106t6q$3ct0j$1@dont-email.me> |
Am 08.06.2026 um 19:12 schrieb Moebius:
> Am 08.06.2026 um 18:45 schrieb Moebius:
>> Da capo.
>>
>> Am 08.06.2026 um 06:50 schrieb Jens Kallup:
>>
>>> - [Kardinalzahlen] beschreiben die Anzahl der Elemente in einer Menge
>>
>> Ja, so kann man es sehen/sagen.
>>
>> "In mathematics, cardinality is an inherent property of sets, roughly
>> meaning the number of individual objects they contain, which may be
>> infinite." (Wikipedia)
>>
>> Manche bestehen zwar darauf, dass man in Bezug auf unendliche Mengen
>> nicht von der "Anzahl" der Elemente der Menge sprechen darf, sondern
>> von der "Mächtigkeit der Menge" sprechen muss; aber das halte ich für
>> übertrieben. (Siehe auch das Wikipedia-Zitat oben.)
> Guter Zeitpunkt, einmal den Meister selbst zu Wort kommen zu lassen:
>
> G. CANTOR, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, 1895.
>
> § 1.
>
> Der Mächtigkeitsbegriff oder die Cardinalzahl.
>
> Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten
> wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens
> (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.
Schon diese anschauliche "Beschreibung" dessen, was eine Menge sein
soll, lässt reichlich Raum für "Spekulationen" ("Interpretationen").
Kann man ein einzelnen Objekt m "zu einer Menge" {m} "zusammenfassen",
so dass {m} =/= m ist? (M. E. kann/darf man das durchaus zu Recht
bezweifeln.) Noch deutlicher wird das in Bezug auf "die leere Menge".
Kann man NICHTS zu einer Menge "zusammenfassen"? Dem Wortlaut von
Cantors "Definition" nach wohl eher nicht, denn er spricht da ja "von
bestimmten wohlunterschiedenen Objecten", die "zu einem Ganzen
zusammengefasst" werden. Mir scheint, dass das eine "leere Menge"
ausschließt.
Tatsächlich "definiert" hier Cantor m. E. eher etwas, was heute ihm
Rahmen der Mereologie betrachtet wird.
> [...]
>
> Jeder Menge M kommt eine bestimmte 'Mächtigkeit' zu, welche wir auch
> ihre 'Cardinalzahl' nennen.
>
> /'Mächtigkeit' oder 'Cardinalzahl' von M nennen wir den
> Allgemeinbegriff, welcher mit Hülfe unseres activen Denkvermögens
> dadurch aus der Menge M hervorgeht, dass von der Beschaffenheit ihrer
> verschiedenen Elemente m und von der Ordnung ihres Gegebenseins
> abstrahirt wird./
>
> Das Resultat dieses zweifachen Abstractionsacts, die Cardinalzahl oder
> Mächtigkeit von M, bezeichnen wir mit
>
> |M| .
>
> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
>
> Die oben von Cantor gegebene "Definition" von 'Mächtigkeit' bzw.
> 'Cardinalzahl' ist reichlich verschwurbelt und wird daher auch heute
> nicht mehr als Definition derselben anerkannt. Immerhin deutet Cantor
> damit an, was er mit 'Mächtigkeit' bzw. 'Cardinalzahl' "meint". Offenbar
> spielen in diesem Zusammenhang weder die konkrete "Natur" (don't aks!)
> der Elemente der betrachteten Menge, noch deren "Anordnung" (don't ask!)
> eine Rolle. Frege hat das -schon vor 1895- wesentlich besser gemacht.
>
> Tatsache ist, dass man diesen Begriff ('Mächtigkeit' bzw.
> 'Kardinalzahl') heute (im Kontext der axiomatischen Mengenlehre)
> einwandfrei definieren kann und die so definierten Kardinalzahlen genau
> die Eigenschaften besitzen, die ihnen Cantor schon "zugeschrieben" hatte.
>
> .
> .
> .
>
>
>
--
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Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-05-27 14:29 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-27 16:17 +0200
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Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 00:04 +0200
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Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 13:22 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 16:01 +0200
Achtung - Schreibfehler ! Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 16:09 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-05-28 18:59 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-05-28 20:59 +0200
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Re: Gibt es eine dritte Alternative? WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:42 +0200
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Re: Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-01 18:42 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-01 19:13 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-01 22:25 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? Alan Mackenzie <acm@muc.de> - 2026-06-01 21:59 +0000
Re: Gibt es eine dritte Alternative? Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 00:10 +0200
Re: Gibt es eine dritte Alternative? WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:37 +0200
Ordinalzahlen (was: Gibt es eine dritte Alternative?) Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 04:18 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 04:32 +0200
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:45 +0200
Re: Ordinalzahlen Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-06-16 23:05 +0000
Re: Ordinalzahlen Hans Crauel <crauel_usenet@freenet.de> - 2026-06-17 00:55 +0000
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-17 08:20 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-18 04:57 +0200
Alphabet (was: Ordinalzahlen) Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-22 13:36 +0200
Re: Ordinalzahlen Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-06-28 23:53 +0000
Re: Ordinalzahlen wm <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-29 09:46 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-29 10:02 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-29 13:15 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-29 17:32 +0200
Re: Ordinalzahlen "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2026-06-29 17:38 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-29 18:58 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-30 04:03 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-30 04:18 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-30 04:01 +0200
Re: Ordinalzahlen ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) - 2026-06-17 10:48 +0000
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-17 14:08 +0200
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-17 14:05 +0200
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 15:40 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-02 16:05 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 20:58 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-03 08:20 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-03 17:27 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-03 22:15 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 20:56 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 21:33 +0200
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-02 21:44 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-02 22:33 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-02 23:37 +0200
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-03 22:35 +0200
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Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 17:59 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-04 18:14 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 18:40 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 18:23 +0200
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Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-03 22:45 +0200
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-03 22:33 +0200
Re: Ordinalzahlen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2026-06-04 06:03 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-04 15:36 +0200
Re: Ordinalzahlen WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2026-06-04 22:34 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-05 04:09 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-05 04:52 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 00:59 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 02:32 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 02:37 +0200
Re: Ordinalzahlen Jens Kallup <paule32.jk@gmail.com> - 2026-06-06 10:06 +0200
Re: Ordinalzahlen Moebius <moebius@example.invalid> - 2026-06-06 22:17 +0200
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