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Extrapolation einer Exponentialfunktion

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Contents

  Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-26 14:03 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2016-12-26 14:34 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Thomas Heger <ttt_heg@web.de> - 2016-12-26 20:40 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Rafael Deliano <rafael_deliano@arcor.de> - 2016-12-28 10:36 +0100
      Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Matthias Weingart <mwnews@pentax.boerde.de> - 2016-12-28 21:57 +0000
      Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Rafael Deliano <rafael_deliano@arcor.de> - 2016-12-29 10:39 +0100
      Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-28 19:59 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Sieghard Schicktanz <Sieghard.Schicktanz@SchS.de> - 2016-12-28 03:23 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2016-12-28 23:09 +0100
      Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-28 23:59 +0100
    Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-30 17:55 +0100
      Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2016-12-30 18:31 +0100
        Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com> - 2016-12-31 14:33 +0100
          Re: Extrapolation einer Exponentialfunktion Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2017-01-02 14:54 +0100

#219098 — Extrapolation einer Exponentialfunktion

Frohe Weihnachten allerseits!

Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine 
Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen 
Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal 
nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem 
der Meßtechnik.

Rechnerisch wären dabei a, k und tau aus mehreren (fehlerbehafteten) 
Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber 
als konstant angenommen werden. Und dafür suche ich jetzt einen 
praktischen Ansatz.

DoDi

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#219101

Hans-Peter Diettrich wrote in de.sci.physik und de.sci.electronics ohne 
F'up2:

> Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine
> Frage hier nochmal rein. […]

Sonst geht’s Dir aber noch gut?

F°

-- 
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.

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#219120

Am 26.12.2016 14:03, schrieb Hans-Peter Diettrich:
> Frohe Weihnachten allerseits!
>
> Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine
> Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
> der Meßtechnik.
>
> Rechnerisch wären dabei a, k und tau aus mehreren (fehlerbehafteten)
> Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber
> als konstant angenommen werden. Und dafür suche ich jetzt einen
> praktischen Ansatz.


Vielleicht hilft das hier:


http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+of+++a+%2B+e^%28-t%2Fs%29+as+t+-%3E+%2Binfinity


TH

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#219271

 > Und dafür suche ich jetzt einen praktischen Ansatz.

Wenig gesagt was da technisch wie und warum
umgesetzt werden soll.

a) "schnelle Temperatursensoren"
Temperatursensoren haben thermische Zeitkonstante
die meist als 1pol angenommen wird. Kann man messen
indem von kaltem in warmes Wasser taucht und damit
die Sprungfunktion aufnimmt. Daraus kann man dann
"schnellen Sensor" simulierem indem man die umgekehrte
Funktion mit der Zeitkonstante ( Differenzierer/Hochpaß,
muß aber DC können ) reinrechnet. Geht natürlich auf
Kosten der Genauigkeit.

b) predictor displays
Das www gibt nicht mehr viel dazu her, es war aber in den
60er Jahren beliebtes Thema und funktioniert technisch
auch. Kelley hat als Cover auf seinem
Buch zu dem Thema von 1968 einen landenden Lifting Body:
http://www.embeddedFORTH.de/temp/kelley.pdf
Leicht opportunistisch, der Crash war 1967:
https://www.youtube.com/watch?v=3jvGJhJINlc
Man hat dazu im Flugzeug eine simulierte Nachbildung
laufen die dem Piloten im Display anzeigt was das
Flugzeug in naher Zukunft tun wird wenn er diesen
Kurs beibehält. Das waren meist sehr simple 1pol, 2pol
Modelle, da man ja nur auf wenige Sekunden Vorhersage
machen will.

MfG  JRD

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#219302

Hans-Peter Diettrich <DrDiettrich1@aol.com>:

> Etwas in dieser Art ist mir im Studium schon untergekommen, bei 
> Zustandsreglern und Beobachtern. Die setzen jedoch eine genaue Kenntnis 
> des Modells voraus, zumindest finde ich darin keinen Ansatz, um die 
> Parameter des Modells aus den Meáwerten zu ermitteln.

Natürlich brauchst Du ein Modell, bei den Modellen mit den 
Exponentialfunktionen als Ergebnis ist das Modell dann ja durch ein 
Differentialgleichungssystem definierbar. Die Parameter des DGL's kann man 
dann prinzipiell aus genügend Messdaten berechnen, vorausgesetzt das Modell 
stimmt hinreichend gut mit der Wirklichkeit überein - was es meistens nicht 
ist - und dann kommt Humbug raus. Ich hatte das mal mit mechanischen Systemen 
versucht, und dann negative Massen rausbekommen. Du brauchst dann wohl doch 
eher einen genialen Mathematiker, der da ein paar Kniffe kennt, wie man das 
bändigt.... 

M.
-- 

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#219325

>> a) "schnelle Temperatursensoren"

Thermische Zeitkonstanten werden üblicherweise 1pol angenommen.
Misst man den Verlauf Temperaturerhöhung z.B. in einem Gehäuse
und versucht dann in den Plot in Mathcad per trial & error
eine simple e-Funktion einzupassen stellt man schnell fest daß
die nicht passen wird. Für Wärmetauscher gabs immer
kompliziertere Modelle.
Bei den Temeratursensoren ist wohl die Annahme daß deren
Wandstärke so klein ist, daß kein Verlauf a la Diffusion
angenommen werden muß.

> Mich nervt ein Kumpel mit Titrationen,bei denen einmal die chemische
> Reaktion eine Zeit dauert, und die Sonden nochmal sehr langsam
> reagieren. Dabei ist es mit der einmaligen Bestimmung der Asymptote
> nicht getan, der eigentlich interessierende Äquivalenzpunkt muß aus
> mehreren solchen Meßpunkten unter weiterer Zugabe des Reagens ermittelt
> werden.

Wenn man da ernsthaft was tuen wollte, täte man die Literatur umwälzen.
Es gibt fast nichts was schonmal versucht wurde, denn Zeit war früher
auch schon Geld.
Absehbar müsste das Reagens ziemlich konstante Qualität haben
und der Prüfautomat Temperatur, Zeitpunkt der Zugabe, genaue Mengen kennen.
Dann landet man dort wo herkömmliche Maschinen auch oft sind:
sie sind aufwendig, sehr eng spezialisiert.
In vielen Fällen bleibt der Anwender dann doch beim System schlampige 
Manufaktur.

MfG  JRD

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#219347

Rafael Deliano schrieb:
>  > Und dafür suche ich jetzt einen praktischen Ansatz.
> 
> Wenig gesagt was da technisch wie und warum
> umgesetzt werden soll.

Mit "praktisch" meinte ich ein Rechenverfahren, nicht die Meßapparatur.

> a) "schnelle Temperatursensoren"
> Temperatursensoren haben thermische Zeitkonstante

Mich nervt ein Kumpel mit Titrationen, bei denen einmal die chemische 
Reaktion eine Zeit dauert, und die Sonden nochmal sehr langsam 
reagieren. Dabei ist es mit der einmaligen Bestimmung der Asymptote 
nicht getan, der eigentlich interessierende Äquivalenzpunkt muß aus 
mehreren solchen Meßpunkten unter weiterer Zugabe des Reagens ermittelt 
werden.

Doch diese Details interessieren mich (noch) nicht, mir geht es erst mal 
einzig um eine schnelle Vorhersage des "eingeschwungenen" Zustands. 
Dabei verwirrt mich vor allem die Diskrepanz zwischen Ansätzen mit 
Polynomen, deren Grenzwerte gegen Unendlich gehen, und der 
Exponentialfunktion, die gegen einen endlichen Wert konvergiert - 
ähnlich dem Kehrwert 1/Polynom bzw. Polynomen mit negativen Exponenten.


> b) predictor displays
> Das www gibt nicht mehr viel dazu her, es war aber in den
> 60er Jahren beliebtes Thema und funktioniert technisch
> auch.

Etwas in dieser Art ist mir im Studium schon untergekommen, bei 
Zustandsreglern und Beobachtern. Die setzen jedoch eine genaue Kenntnis 
des Modells voraus, zumindest finde ich darin keinen Ansatz, um die 
Parameter des Modells aus den Meßwerten zu ermitteln.

Bislang deutet jedoch alles darauf hin, daß es keine analytische Lösung 
für mein Problem bzw. Modell gibt. Dann muß ich mich wohl oder übel mit 
einer sukzessiven Approximation abfinden.

Es sei denn...
[nochmal nachdenken]

DoDi

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#219278

Hallo Hans-Peter,

Du schriebst am Mon, 26 Dec 2016 14:03:09 +0100:

> Frohe Weihnachten allerseits!
> 
> Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine 
> Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen 
> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal 
> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem 
> der Meßtechnik.
> 
> Rechnerisch wären dabei a, k und tau aus mehreren (fehlerbehafteten) 
> Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber 
> als konstant angenommen werden. Und dafür suche ich jetzt einen 
> praktischen Ansatz.

Ausgleichsrechnung, Funktionanpassung ("Fitting")?

Sollte schon lange fertige Algorithmen dafür geben, ersteres hat
schließlich schon Herr C. F. Gauß praktiziert.
("Methode der kleinsten Quadrate", "Least squares fit")

-- 
-- 
(Weitergabe von Adressdaten, Telefonnummern u.ä. ohne Zustimmung
nicht gestattet, ebenso Zusendung von Werbung oder ähnlichem)
-----------------------------------------------------------
Mit freundlichen Grüßen, S. Schicktanz
-----------------------------------------------------------

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#219304

Hans-Peter Diettrich wrote:
> 
> Frohe Weihnachten allerseits!
> 
> Die Mathematiker scheinen im Urlaub zu sein, deshalb stelle ich meine
> Frage hier nochmal rein. Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
> der Meßtechnik.
> 
> Rechnerisch wären dabei a, k und tau aus mehreren (fehlerbehafteten)
> Messungen zu bestimmen. Die Abtastrate (dt) kann der Einfachkeit halber
> als konstant angenommen werden. Und dafür suche ich jetzt einen
> praktischen Ansatz.

Ich habe vor ca. 20 Jahren soetwas programmiert, allerdings
war bekannt in welchem bereich tau liegt.
Bei bekanntem tau ist das ein ueberbestimmtes lineares Gleichungssystem
und man kann  direkt a k und die Summe der Quadrate der Abweichungen berechnen.
Ich habe den moeglichen Bereich fuer Tau in 100 Schritte zerlegt,
fuer alle den leaest squares-fit berechnet und den besten davon genommen,
das war am simpelsten.

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#219315

Carla Schneider schrieb:

> Bei bekanntem tau ist das ein ueberbestimmtes lineares Gleichungssystem
> und man kann  direkt a k und die Summe der Quadrate der Abweichungen berechnen.
> Ich habe den moeglichen Bereich fuer Tau in 100 Schritte zerlegt,
> fuer alle den leaest squares-fit berechnet und den besten davon genommen,
> das war am simpelsten.

Ein interessanter Ansatz, muß ich mir mal durch den Kopf gehen lassen :-)

DoDi

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#219390

Hans-Peter Diettrich schrieb:

> Es geht um die Bestimmung des asymptotischen 
> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal 
> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem 
> der Meßtechnik.

Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden 
Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.

Ausgehend von der Beziehung für a=0
   n = y0/y1 = y1/y2 = ... = y(t)/y(t+dt)
[siehe Wikipedia: Halbwertszeit]
und dem Einarbeiten der Asymptote als Offset der Meßwerte
   y(t)=a+f(t)
   n = (y0-a)/(y1-a) = ... = (y(t)-a)/(y(t+dt)-a)

ergibt sich daraus die Formel
   a = (y1²-y0*y2)/(2*y1-y0-y2)

Bleibt noch ein Verfahren zum Umgang mit fehlerbehafteten Meßwerten zu 
finden, aber dazu gibt es ja schon reichlich Literatur. Eine Simulation 
mit idealen Werten und 32 bit Realzahlen liefert für a, n und tau 
jedenfalls Werte auf mindestens 5 Stellen genau. Bei einem Startwert von 
0.01 neben der Asymptote wackelt die 5. Stelle. Liegen die gemessenen 
Werte zu nahe beieinander, kann man zur Vermeidung einer Division durch 
0 auf die ganze Rechnung verzichten, und sich z.B. direkt mit deren 
Mittelwert oder dem letzten Wert für a begnügen.


Damit hat für mich dieses Jahr noch einen guten Abschluß gefunden, 
vielen Dank für die vielen Denkanstöße, und ich wünsche allen Mitlesern 
einen guten Rutsch ins neue Jahr :-)

DoDi

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#219392

Hans-Peter Diettrich wrote:
> 
> Hans-Peter Diettrich schrieb:
> 
> > Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
> > Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
> > nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
> > der Meßtechnik.
> 
> Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden
> Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.

Das kann man natuerlich machen, aber fuer Fehlerbehaftete y W-werte ist es besser 
die Werte so zu ermitteln dass die Summe der Quadrate der Abweichungen fuer alle y 
die man hat minimal wird - und nicht fuer 3 doch beliebig ausgewaehlte gleich Null.
Also sowas wie: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression

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#219429

Carla Schneider schrieb:
> Hans-Peter Diettrich wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>>
>>> Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
>>> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
>>> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
>>> der Meßtechnik.
>> Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden
>> Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.
> 
> Das kann man natuerlich machen, aber fuer Fehlerbehaftete y W-werte ist es besser 
> die Werte so zu ermitteln dass die Summe der Quadrate der Abweichungen fuer alle y 
> die man hat minimal wird - und nicht fuer 3 doch beliebig ausgewaehlte gleich Null.
> Also sowas wie: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression

Danke für den Hinweis, aber mir ging es erst mal darum, die Funktion in 
den Griff zu bekommen. Ob sich Lineare Regression auf einen 
exponentiellen Verlauf anwenden läßt, wäre erst noch zu prüfen. Ich 
könnte mir z.B. vorstellen, daß man a daraufhin optimiert, daß die 
Abweichungen von n aus (y(t)-a)/(y(t+dt)-a) minimal werden. Das kann man 
jetzt ausprobieren, oder einen gestandenen Mathematiker fragen, welche 
Verfahren unter welchen Bedingungen am besten für dieses Problem 
geeignet wären.

DoDi

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#219582

Hans-Peter Diettrich wrote:
> 
> Carla Schneider schrieb:
> > Hans-Peter Diettrich wrote:
> >> Hans-Peter Diettrich schrieb:
> >>
> >>> Es geht um die Bestimmung des asymptotischen
> >>> Grenzwerts a, dem sich ein nach y=a+k*e^-t/tau abklingendes Signal
> >>> nähert, und das möglichst frühzeitig. Also eigentlich ein Alltagsproblem
> >>> der Meßtechnik.
> >> Inzwischen habe ich eine Lösung gefunden, um aus 3 aufeinanderfolgenden
> >> Messungen mit konstanter Abtastrate die Asymptote zu ermitteln.
> >
> > Das kann man natuerlich machen, aber fuer Fehlerbehaftete y W-werte ist es besser
> > die Werte so zu ermitteln dass die Summe der Quadrate der Abweichungen fuer alle y
> > die man hat minimal wird - und nicht fuer 3 doch beliebig ausgewaehlte gleich Null.
> > Also sowas wie: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Regression
> 
> Danke für den Hinweis, aber mir ging es erst mal darum, die Funktion in
> den Griff zu bekommen. Ob sich Lineare Regression auf einen
> exponentiellen Verlauf anwenden läßt, wäre erst noch zu prüfen.

Bei vorgegebenem tau geht das, und man bekommt a und k heraus und die Summe
der Fehlerquadrate.
Dann braucht man nur noch das tau zu finden wofuer das minimal wird,
z.B. indem alle moeglichen tau durchprobiert werden.

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