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Re: Schrittmotoren

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Am 30.08.16 um 11.16 schrieb Hans-Peter Diettrich:
> Die 10 Treffer bei meiner Recherche erscheinen mir sehr übersichtlich.
> Über den Generator selbst konnte ich praktisch nichts finden :-(

Es ist natürlich auch schon ein Thema, das etwas über den Horizont der
Allgemeinheit hinausgeht. In wissenschaftlichen Publikationsdatenbanken
gibt es durchaus Zehntausende von Treffern.

> Das sieht mir wie ein Beobachter aus?

Nein. Ein Beobachter ist ein Modell eines realen Systems, das dem realen
System nachgeführt wird, indem die Abweichung der Ausgangsgrößen von
realem System und Modell über eine Rückführmatrix minimiert wird.

Der Generator ist letztlich ein Filter, das in einer
Zustandsraum-Normalform formuliert wird. Und diese
Zustandsraum-Normalformen sehen natürlich immer ähnlich aus, sowohl bei
einem Zustandsraummodel, einem Beobachter, einem Kalman-Filter oder eben
hier dem Trajektoriegenerator.

>> Im Grundsatz ist der Trajektoriegenerator ein im Zustandsraum
>> formuliertes System: eine Kette von Integratoren - im Bild mit ihrer
>> Übertragungsfunktion 1/s bezeichnet. Zeitdiskret funktionierts natürlich
>> genauso. Mit Hilfe der Rückführungskoeffizienten a wird das dynamische
>> Verhalten des Generators auf gewünschte (hinreichend schnelle)
>> Eigenwerte dimensioniert. Das geht mit Hilfe von
>> Standard-Entwurfsverfahren im Zustandsraum ziemlich simpel.

Die Dynamik des Generators der Ordnung n wird durch vorgegebene n
Eigenwerte lambda_1, lambda_2,... festgelegt. Dann ergibt sich ein
charakteristisches Sollpolynom P_soll durch Ausmultiplizieren von

P_soll = (lambda - lambda_1)*(lambda - lambda_2)*...

Man beschreibt die Integratorkette des Generators durch die vier
Standardmatrizen A, B, C, D eines Zustandsraummodells, damit wird bei
geeigneter "Nummerierung" der Zustandsgrößen

1. die Eingangsmatrix B so festlegt, dass der (skalare) Eingang nur auf
den "ersten" Integrator wirkt, also B = (1 0 0 0 ...)',

2. die Ausgangsmatrix C so festlegt, dass der Ausgang des "letzten"
Integrators die (skalare) Ausgangsgröße wird, also C = (... 0 0 0 1)
ist, und

3. Die Systemmatrix eine Hauptdiagonalparallelform besitzt, es wird also
A zu

      / 0  0  0  0 usw. \
     /  1  0  0  0       \
A = (   0  1  0  0        )
     \  0  0  1  0       /
      \ usw.       usw. /

4. D = 0, da nicht sprungfähiges System.

Das charakteristische Polynom P des Generators ergibt sich dann mit der
Einheitsmatrix I aus

P = det(lambda*I - A + B*R)

und ein Koeffizientenvergleich P_soll = P liefert n Gleichungen für die
Koeffizienten der Rückführmatrix R (die ich in meiner Handskizze
blöderweise mit a_1, a_2,... benannt hatte).

Dann muss man nur noch dafür sorgen, dass das stationäre Verhalten auf
Verstärkung eins führt, also einmal den Endwertsatz bemühen. Damit folgt
dann der Ausgang mit gegebener Dynamik dem Eingang und die vorgelagerten
Integratoren liefern die Ableitungen des Ausgangs.

That's it. Standard-Entwurfsverfahren im Zustandsraum, wie bei einer
klassischen Regelung mit Rückführung des Zustandsvektors oder der
Dimensionierung der Rückführmatrix eines Beobachters. Nur beim
Kalman-Filter geht man i.d.R. anders vor, weil dort die
Beobachterdynamik nicht per Eigenwertvorgabe, sondern für optimale
Unterdrückung von Störungen dimensioniert wird.

> Das würde mich näher interessieren, insbesondere wie Grenzen für
> Geschwindigkeit und Beschleunigung vorgegeben werden können.

Bei begrenztem Eingangssignal werden Maximalwerte für die Ableitungen ja
durch die gewählte Generatordynamik festgelegt. Das Ganze ist nur nicht
zeitoptimal, d.h., die Grenzen werden genau einmal erreicht und man
fährt nicht eine maximal mögliche Zeit auf der Grenze.

Andererseits kann man den Generator auch schnell auslegen, die Bahn
anders planen und den Generator dann nur noch verwenden, um die
Ableitungen online zu berechnen - dann vielleicht auch gleich
mehrdimensional. Möglichkeiten gibt es viele...

> Mit Zustandsreglern habe ich mich schon im Studium beschäftigt, bin aber
> immer bei der Identifikation der Regelstrecke stecken geblieben. Für
> Otto Normaluser ist das jedenfalls kein brauchbarer Ansatz :-(

Es ist wie immer: wenn man es einmal kapiert hat, ist es supereinfach
und superpraktisch.

>> Nachteile hat das Ganze natürlich auch: die Synchronisation von mehreren
>> Achsen ist nicht ganz trivial, wenn man die vorgezogenen Signale
>> Geschwindigkeit etc. nutzen will. Braucht man nur den Ort in x und y und
>> ist Mehrdeutigkeit nicht gefordert, kann man einfach den Ort y als
>> Funktion des Orts x für die zweite Achse verwenden.
> 
> Das setzt aber voraus, daß die zweite Koordinate die Bahngeschwindigkeit
> nicht begrenzt?

Natürlich. Deswegen ist es für den allgemeinen Fall stetiger
mehrdimensionaler Bahnen sicher günstiger, einen Spline über einer
Laufvariablen zu definieren. Allein schon ja wegen der möglichen
Mehrdeutigkeiten. Damit hat man dann die Bahngeschwindigkeit im Griff.

V.

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