Re: Verwirrte Anfänger ...

From	Moebius <invalid@example.invalid>
Newsgroups	de.sci.mathematik
Subject	Re: Verwirrte Anfänger ...
Date	2025-10-07 02:47 +0200
Organization	A noiseless patient Spider
Message-ID	<10c1nui$lc4i$1@dont-email.me> (permalink)
References	(1 earlier) <10b9cnn$5r6k$1@solani.org> <10bdgs0$2st52$1@dont-email.me> <10bmgc2$e32e$1@solani.org> <10btuls$3es2v$4@dont-email.me> <10c0g7s$k3ep$1@solani.org>

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Am 06.10.2025 um 15:31 schrieb Ulrich D i e z:
> Moebius schrieb:

[Nur mit der heiße Nadel gestrick ... habe mir nicht die Mühe gemacht, 
die Sourcen zu checke, aber viell. ist es doch hilfreich. Sorry.]
>>   > ... Mengen der Mächtigkeit 0 ...
>>
>> Die einzige Menge mit Mächtigkeit 0 ist die leere Menge.
>> 
> Davon gehe ich aus. [...]
>
> Indem ich den Plural verwende, also "leere Mengen"/"Mengen der
> Mächtigkeit 0" schreibe, werfe ich aber noch eine andere Frage auf:

Die Frage wurde Dir gerade beantwortet. Es gibt (in der Mengenlehre) NUR 
EINE leere Menge.

Nun aber:

> Die mit A bezeichnete Menge sei leer und die mit B bezeichnete Menge sei
> leer.
> 
> Wenn man davon ausgeht, dass zwei Mengen gleich sind, wenn weder der
> Fall ist, dass die eine Menge Elemente hat, die die andere Menge nicht
> hat, noch der Fall ist, dass die andere Menge Elemente hat, die die eine
> Menge nicht hat, dann [...]

Davon geht man im Kontext der "allermeisten" Mengenlehren GANZ GEWISS 
aus - üblicherweise als Axiom formuliert (->Extensionalitätsaxiom).

Demzufolge gilt (speziell für zwei Mengen A und B) [<-hier wird 
"standardmäßig" der Plural verwendet und von "zwei" Mengen gesprochen, 
weil man ja "per se" nicht davon ausgehen kann, dass A = B gilt; es 
erleichtert das Sprechen/Schreiben in diesem Zusammenhang deutlich]:

      Ax(x e A <-> x e B) -> A = B .

Wenn das Symbol "=" hier schon durch das der Mengenlehre 
zugrundeliegende logische System "eingeführt" wurde, dann spricht man 
(zu Recht) von "Identität". (Üblicherweise/oft ist das auch so.)

Die Google-KI: "Predicate logic with identity introduces the logical 
symbol "=" to express that two terms refer to the same individual, 
allowing statements to be made about numerical quantities (e.g., "there 
is exactly one") and logical properties like uniqueness."

Hinweis: Die FOPL= hat Kant noch nicht ge-kannt. Oder sollte man sagen: 
"Die FOPL= war Kant noch nicht be-kannt."? :-)

> Was braucht man darüber hinaus, um außer auf Gleichsein auch auf
> Einerleiheit schließen zu können, also darauf, dass A und B nur
> verschiedene Bezeichner für ein- und dieselbe Menge sind und es sich bei
> dem jeweils mit A bzw. mit B Bezeichneten nicht um zwei numerisch
> verschiedene, qualitativ und quantitativ gleiche Mengen handelt?

Nichts mehr. Siehe oben.

Es gibt aber noch einen anderen Zugang zur "Identität" bzw. "Gleicheit" 
IM KONTEXT DER MENGENLEHRE. Hier ist "=" NICHT Bestandteil der 
zugrundeliegenden Logik. Man führt das Symbol daher DEFINITORISCH (z. 
B.) so ein:

      a = b <-> Ax(x e a <-> x e b) .

HIER kann man nun wohl nicht mehr "einfach so" davon ausgehen, dass das 
auf diese Weise definierte Symbol (entsprechend verwendet) tatsächlich 
die "Identität" (also "Einerleiheit") ausdrückt.

Viell. gibt es ja noch andere Eigenschaften, die Mengen "anhaften" 
können als nur die, bestimmte Elemente "zu besitzen" (und andere nicht) 
- sag ich jetzt mal so.

Tatsächlich kommt man mit dieser Definition auch nicht weit, wenn man 
nicht noch ein "Extensionalitäts"-Axiom (das sich auf das Symbol "=" 
bezieht) formuliert, das im gewisser Weise das (oben erwähnte) 
Extensionalitätsaxiom ersetzt:

      a = b -> AX(a e X <-> b e X) .

Wenn man das macht, kann man "rein formal" die so definierte 
"Gleichheit" nicht mehr von der "Identität" unterscheiden: Die Theoreme, 
die im einen System abgeleitet werden können, können auch im anderen 
System abgeleitet werden (und vice versa).

a = a ist z. B. im Kontext einer ML, das auf FOPL= basiert, ein rein 
logisches Theorem. In einer ML das auf FOPL basiert, ein Satz, der aus 
der oben angegebenen Definition für "=" folgt, denn es gilt dann a = a 
<-> Ax(x e a <-> x e a) und Ax(x e a <-> x e a) gilt wiederum aus rein 
logischen Gründen.

> Immanuel Kant schreibt im Anhang "Von der Amphibolie der
> Reflexionsbegriffe durch die Verwechslung des empirischen
> Verstandesgebrauchs mit dem transzendentalen" seiner Kritik der reinen
> Vernunft, <https://www.projekt-gutenberg.org/kant/krva/krva062.html>:
> 
> | 1. Einerleiheit und Verschiedenheit. Wenn uns ein Gegenstand
> | mehrmalen, jedesmal aber mit ebendenselben inneren Bestimmungen,
> | (qualitas et quantitas) dargestellt wird, so ist derselbe, wenn er als
> | Gegenstand des reinen Verstandes gilt, immer eben derselbe, und nicht
> | viele, sondern nur Ein Ding (numerica identitas); ist er aber
> | Erscheinung, so kommt es auf die Vergleichung der Begriffe gar nicht
> | an, sondern, so sehr auch in Ansehung derselben alles einerlei sein
> | mag, ist doch die Verschiedenheit der Örter dieser Erscheinung zu
> | gleicher Zeit ein genügsamer Grund der numerischen Verschiedenheit des
> | Gegenstandes (der Sinne) selbst.
> 
> Wenn man sich daran orientiert, dann kommt es auch darauf an, ob Mengen
> als Gegenstände des reinen Verstandes gelten oder Erscheinungen sind.

Nun, ICH jedenfalls hab noch nie eine Menge gesehen. Ich bezweifle auch, 
dass, sie als "raum-zeitliche" Objekte "existieren". Jedenfalls hat man 
sie nicht "empirisch entdeckt". :-P

Mit den Zahlen verhält es sich im übrigen genau gleich. Lediglich 
Mückenheim ist in der Lage, sichtbare von nicht sichtbaren Zahlen zu 
unterscheiden. Wie hat er neulich so schön formuliert:

"Man sagt: Zu jeder [natürlichen Zahl] gibt es eine größere, aber es 
gibt keine, die größer als alle ist. Wie kann das sein? Die im Dunkel 
sieht man nicht und hielt sie daher bisher für gar nicht vorhanden."

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Thread

Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 19:31 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 19:45 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 19:57 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-23 22:57 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 23:06 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 23:11 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 23:21 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 23:23 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-24 07:27 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 13:10 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-24 16:52 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... Andreas Leitgeb <avl@logic.at> - 2025-09-24 15:49 +0000
            Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 18:43 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-24 20:16 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-09-28 01:19 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 03:08 +0200
              Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 04:08 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2025-09-28 14:46 +0000
                Re: Verwirrte Anfänger ... Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2025-09-28 15:11 +0000
                Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-28 17:31 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 20:13 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 20:23 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2025-09-28 19:50 +0000
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                Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-28 21:23 +0200
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    Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-23 22:38 +0200
      Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-25 11:11 +0000
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          Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-25 21:33 +0000
            Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-26 13:02 +0200
              Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-26 12:26 +0000
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-26 21:53 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-27 14:15 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 12:17 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-04 14:00 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 15:21 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 15:42 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-04 19:00 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-05 10:36 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-05 17:07 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-05 18:18 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 16:14 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 16:58 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 18:39 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 18:40 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-05 19:07 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-05 17:15 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-05 18:48 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-27 10:57 +0000
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 16:53 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 16:54 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 16:55 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-24 17:02 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-26 16:00 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-26 16:03 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-26 17:31 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-26 22:09 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... // TH32 Grenzwert Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2025-09-23 19:56 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-23 22:27 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-25 00:39 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-09-27 21:10 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2025-09-29 10:43 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-29 12:10 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2025-09-29 13:36 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-29 17:00 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-02 20:32 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-03 02:36 +0200
          Off topic - Null und Nichts etc (was: Verwirrte Anfänger ...) Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 01:47 +0200
            Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-04 18:04 +0200
              Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-06 12:47 +0200
            Re: Off topic - Null und Nichts etc "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2025-10-06 13:27 +0200
              Re: Off topic - Null und Nichts etc Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-06 15:58 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-06 16:18 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-07 21:46 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:15 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:40 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:23 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:29 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-08 21:00 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-08 21:03 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-08 22:32 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-08 22:39 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 02:29 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 02:29 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 04:17 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 04:33 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-08 22:53 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-07 23:20 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2025-10-08 10:34 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-08 11:07 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 02:45 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 02:56 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 03:01 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 03:02 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:24 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:24 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:25 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:35 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-07 21:16 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-07 21:08 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-07 23:28 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-08 20:04 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 16:17 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-06 15:31 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-06 15:42 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 02:47 +0200
              Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 07:00 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 07:02 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-08 06:28 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2025-10-07 05:13 +0000
            Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-13 18:29 +0200
              Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-14 22:32 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-15 05:46 +0200

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