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Integral gesucht

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  Integral gesucht Ernst Sauer <Ernst.Sauer@kabelmail.de> - 2017-01-12 16:13 +0100
    Re: Integral gesucht Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2017-01-12 21:56 +0100
      Re: Integral gesucht Ernst Sauer <Ernst.Sauer@kabelmail.de> - 2017-01-13 12:18 +0100
        Re: Integral gesucht Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2017-01-13 20:00 +0100
          Re: Integral gesucht Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2017-01-13 22:01 +0100

#102228 — Integral gesucht

f(t) soll ein zeitabhängiger Winkel (z.B. auf einem Kreisbogen) sein.
df/dt ist dann die Winkelgeschwindigkeit, die allerdigs
vorerst nicht bekannt ist.

Bei der Lösung meines Problems taucht dieses Integral auf.

integrate sin(f)^2*(df/dt)^2*df

Wenn ich diesen Ausdruck in Wolfram Alpha eingebe,
bekomme ich die folgende Lösung:

-1/4*f'(t)^2*(sin(2*f(t))-2*f(t)) + const.

f' interpretiere ich als df/dt

Meine Frage:
ergibt das einen Sinn was ich da eingegeben habe?

Mit Gruß
es

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#102240

Ernst Sauer schrieb:
> f(t) soll ein zeitabhängiger Winkel (z.B. auf einem Kreisbogen) sein.
> df/dt ist dann die Winkelgeschwindigkeit, die allerdigs
> vorerst nicht bekannt ist.
>
> Bei der Lösung meines Problems taucht dieses Integral auf.
>
> integrate sin(f)^2*(df/dt)^2*df
>
> Wenn ich diesen Ausdruck in Wolfram Alpha eingebe,
> bekomme ich die folgende Lösung:
>
> -1/4*f'(t)^2*(sin(2*f(t))-2*f(t)) + const.
>
> f' interpretiere ich als df/dt
>
> Meine Frage:
> ergibt das einen Sinn was ich da eingegeben habe?
>

Ob das Integral sinnvoll ist, kann ich nicht beurteilen, da ich den 
Problemkontext nicht kenne. Die Lösung, die WolframAlpha ausgibt, ist
natürlich richtig, und das kann man wie folgt sehen:

Für den Kosinus des doppelten Winkels gilt:

cos(2x) = 1 - 2 sin(x)^2

umgestellt:

sin(x)^2 = (1 - cos(2x))/2

Damit nimmt das Integral die Form an:

Int (1 - cos(2f))/2 * (df/dt)^2 df

Da df/dt nicht explizit bekannt ist, wird es bezüglich der Integration 
über f als Konstante betrachtet:

    Int (1 - cos(2f))/2 * (df/dt)^2 df

= (df/dt)^2 * Int (1 - cos(2f))/2 df

= (df/dt)^2 * 1/2 * [f  - sin(2f)/2] + const

= -1/4*(df/dt)^2 * [sin(2f) - 2*f] + const

Dieter Heidorn

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#102261

Am 12.01.2017 um 21:56 schrieb Dieter Heidorn:
> Ernst Sauer schrieb:
...

> Damit nimmt das Integral die Form an:
>
> Int (1 - cos(2f))/2 * (df/dt)^2 df
>
> Da df/dt nicht explizit bekannt ist, wird es bezüglich der Integration
> über f als Konstante betrachtet:
>
>    Int (1 - cos(2f))/2 * (df/dt)^2 df
>
> = (df/dt)^2 * Int (1 - cos(2f))/2 df
>

Aha, so macht das der Integralrechner,
da habe ich wohl zu viel erwartet und somit ist die
Lösung für mich nicht brauchbar.

Mein Problem sieht in etwa so aus:
f(t)^2 = g(phi) - Integral(f(t)^2*d_phi) in den Grenzen 0 bis phi.

Da werde ich wohl weiter knobeln müssen
(was ja der einzige Sinn und Zweck dieser Aufgabe ist).

Mit Gruß
es

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#102279

Ernst Sauer schrieb:
> Am 12.01.2017 um 21:56 schrieb Dieter Heidorn:
>> Ernst Sauer schrieb:
> ...
>
>> Damit nimmt das Integral die Form an:
>>
>> Int (1 - cos(2f))/2 * (df/dt)^2 df
>>
>> Da df/dt nicht explizit bekannt ist, wird es bezüglich der Integration
>> über f als Konstante betrachtet:
>>
>>    Int (1 - cos(2f))/2 * (df/dt)^2 df
>>
>> = (df/dt)^2 * Int (1 - cos(2f))/2 df
>>
>
> Aha, so macht das der Integralrechner,
> da habe ich wohl zu viel erwartet und somit ist die
> Lösung für mich nicht brauchbar.
>
> Mein Problem sieht in etwa so aus:
> f(t)^2 = g(phi) - Integral(f(t)^2*d_phi) in den Grenzen 0 bis phi.
>

Die Schreibweise ist (mir) nicht klar. Wenn du im Integral über phi
integrierst, und der Integrand f(t) ist, dann ergibt das Integral
einfach

   phi                          phi
Int f(t)^2 dphi = f(t)^2 * Int dphi = f(t)^2 * phi
0                            0

Falls phi = phi(t) sein sollte, könntest du schreiben:

Int f(t)^2 dphi = Int f(t)^2 (dphi/dt) dt

Dann hättest du insgesamt eine nichtlineare Integralgleichung:

f(t)^2 + Int f(t)^2 (dphi/dt) dt = g(phi(t)).

Dieter Heidorn

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#102282

Dieter Heidorn wrote:

>    phi                          phi
> Int f(t)^2 dphi = f(t)^2 * Int dphi = f(t)^2 * phi
> 0                            0

Einrückung − Festbreitenschriftart = Zeichenwüste.

HTH
 
-- 
PointedEars

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