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Tensordarstellung

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  Tensordarstellung Ernst Sauer <Ernst.Sauer@kabelmail.de> - 2016-03-27 17:13 +0200
    Re: Tensordarstellung Ernst Sauer <Ernst.Sauer@kabelmail.de> - 2016-03-27 17:49 +0200
    Re: Tensordarstellung Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2016-03-27 21:58 +0200

#95737 — Tensordarstellung

In dem Büchlein Tensorrechnung von Klingbeil ist in einem
Beispiel ein Tensor wie folgt dargestellt

T =     e1e1 -   e1e2 + 2*e1e3
     + 2*e2e1 + 2*e2e2 -   e2e3
     -   e3e1 - 2*e3e2 +   e3e3

Die übliche Darstellung ist doch
T =
/  1 -1  2 \
|  2  2 -1 |
\ -1 -2  1 /

Bei einem Vektor v kann man z.B. schreiben
v = e1 + 2*e2 - e3
Das ergibt einen Sinn, weil e1, e2, e3 Vektoren sind,
ist v auch ein Vektor.

Aber welchen Sinn ergibt die additive Darstellung
bei einem Tensor?

Klar ist, dass T_31 mit den Einheitsvektoren e3, e1
in Verbindung steht, aber e3e1 ist kein
Skalarprodukt der Einheitsvektoren.

Was hat der gute Mann sich bei der additiven Darstellung vorgestellt?
Um einen Schreibfehler kann es sich nicht handeln.

es



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#95738

Am 27.03.2016 um 17:13 schrieb Ernst Sauer:
> In dem Büchlein Tensorrechnung von Klingbeil ist in einem
> Beispiel ein Tensor wie folgt dargestellt
>
> T =     e1e1 -   e1e2 + 2*e1e3
>      + 2*e2e1 + 2*e2e2 -   e2e3
>      -   e3e1 - 2*e3e2 +   e3e3
>
> Die übliche Darstellung ist doch
> T =
> /  1 -1  2 \
> |  2  2 -1 |
> \ -1 -2  1 /
>
> Bei einem Vektor v kann man z.B. schreiben
> v = e1 + 2*e2 - e3
> Das ergibt einen Sinn, weil e1, e2, e3 Vektoren sind,
> ist v auch ein Vektor.
>
> Aber welchen Sinn ergibt die additive Darstellung
> bei einem Tensor?
>
> Klar ist, dass T_31 mit den Einheitsvektoren e3, e1
> in Verbindung steht, aber e3e1 ist kein
> Skalarprodukt der Einheitsvektoren.
>
> Was hat der gute Mann sich bei der additiven Darstellung vorgestellt?
> Um einen Schreibfehler kann es sich nicht handeln.
>
> es
>
>
>

Nachtrag:
Mir ist schon klar, dass ein Tensor eine invariante Größe ist,
also müsste man bei T doch immer die zugehörigen Basen angeben,
vielleicht so:
T =
/  1 -1  2 \
|  2  2 -1 |
\ -1 -2  1 / e





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#95745

Ernst Sauer schrieb:
> In dem Büchlein Tensorrechnung von Klingbeil ist in einem
> Beispiel ein Tensor wie folgt dargestellt
>
> T =     e1e1 -   e1e2 + 2*e1e3
>      + 2*e2e1 + 2*e2e2 -   e2e3
>      -   e3e1 - 2*e3e2 +   e3e3
>
> Die übliche Darstellung ist doch
> T =
> /  1 -1  2 \
> |  2  2 -1 |
> \ -1 -2  1 /
>
> Bei einem Vektor v kann man z.B. schreiben
> v = e1 + 2*e2 - e3
> Das ergibt einen Sinn, weil e1, e2, e3 Vektoren sind,
> ist v auch ein Vektor.
>
> Aber welchen Sinn ergibt die additive Darstellung
> bei einem Tensor?
>

Ich vermute du meinst:

E. Klingbeil: Tensorrechnung für Ingenieure.

Im Kapitel 2, Abschnitt 1, führt Klingbeil zunächst formal das
tensorielle Produkt zweier Vektoren x = x_i g_i und y = y^j g_j ein:

T = x y = x^i y^j g_i g_j    (Gleichung (2.1), Seite 42)

Allgemein definiert er dann als Tensor 2. Stufe:

T = t^ij g_i g_j

Die tensoriellen Produkte der Basisvektoren g_i g_j haben die gleiche
Bedeutung für Tensoren 2. Stufe, wie die Basisvektoren für einen Vektor.
Bei Verwendung einer orthonormierten Basis e_i gilt für einen Vektor:

x = x^i e_i = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3

und für einen Tensor 2. Stufe:

T = t^ij e_i e_j.

Die Produkte e_i e_j sind keine Skalarprodukte, sondern tensorielle
Produkte der orthonormalen Basisvektoren - sie stellen die Basis im
9-dimensionalen Tensorraum 2. Stufe dar:

T =   t^11 e_1 e_1 + t^12 e_1 e_2 + t^13 e_1 e_3
     + t^21 e_2 e_1 + t^22 e_2 e_2 + t^23 e_2 e_3
     + t^31 e_3 e_1 + t^32 e_3 e_2 + t^33 e_3 e_3

Dieter Heidorn

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