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Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas?

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Salve allerseits,

Hermann Riemann schrieb:
>
> nicht an die Erschaffung vom Mathematik durch ein Phantasiewesen glaubend.
>
+--- <hier abknabbern> ---
| Auf wie viele Arten kann man die Ebene mit einem regelmäßigen Muster von
| Fliesen auslegen? Daß die Zahl der Möglichkeiten unendlich ist, zeigt
| nicht nur ein Besuch im Sanitärgroßmarkt, sondern auch ein Blick auf die
| Werke des holländischen Graphikers M.C. Escher: "Fliesen" in Form von
| Reptilien, Vögeln, Menschen und Phantasiewesen aller Art bedecken
| lückenlos das Zeichenblatt, unentwirrbar ineinander verschlungen und
| doch dasselbe Muster mit mathematischer Präzision unausgesetzt
| wiederholend.
|
| Einen vollständigen Katalog aller periodischen Pflasterungen der Ebene
| (so der mathematische Terminus) zusammenzustellen, ist also
| offensichtlich unmöglich. Bielefelder Mathematiker haben jedoch ein
| graphisches Computerprogramm entwickelt, mit dem sich prinzipiell alle
| diese Pflasterungen erzeugen lassen – vom simplen Schachbrettmuster aus
| quadratischen Sanitärkacheln bis zu den Phantasiewelten von Escher und
| den maurischen Ornamenten der Alhambra. "RepTiles" heißt das Programm
| von Daniel Huson und Olaf Delgado, einerseits die Abkürzung für
| repeating tiles (sich wiederholende Fliesen), andererseits eine Reverenz
| an die Eidechsen des holländischen Meisters.
|
| Das Problem der Pflasterungen klingt einfach, hat es aber in sich. So
| entdeckte zum Beispiel vor zwanzig Jahren der englische Physiker und
| Mathematiker Roger Penrose, daß es Paare von rhombenförmigen
| Mosaiksteinchen gibt, mit denen sich die Ebene zwar hübsch verfliesen
| läßt, aber niemals auf periodische Art und Weise (es gibt keine
| Verschiebung, Drehung oder Spiegelung der Ebene, die das Muster mit sich
| selbst zur Deckung bringt). Aber auch die periodischen Muster sind erst
| in den letzten Jahren vollständig klassifiziert worden.
|
| Klassifizieren heißt nicht, alle möglichen Ornamente aufzuzählen,
| sondern sie in Gruppen von äquivalenten Mustern einzuteilen. Stellen wir
| uns vor, ein Muster werde auf ein Gummituch gezeichnet. Dann sind alle
| anderen Muster zu diesem äquivalent, die sich (theoretisch) durch Ziehen
| und Stauchen des Gummis aus dem ersten Muster erzeugen lassen und zudem
| noch dieselben Symmetrien besitzen. Eschers Reptilien zum Beispiel
| lassen sich durch die Verzerrung eines gewöhnlichen Bienenwabenmusters
| aus Sechsecken gewinnen.
|
| Sind als Fliesen nur regelmäßige Vielecke zugelassen, dann ist die Zahl
| der Muster sehr beschränkt: Neben den sogenannten platonischen
| Pflasterungen aus lauter Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken kannte
| schon Kepler die elf archimedischen Pflasterungen, in denen verschiedene
| regelmäßige Riesen miteinander kombiniert werden, nämlich Drei-, Vier-,
| Acht-, und Zwölfecke. Mit gleichseitigen Fünf- oder Siebenecken indes
| könnte kein Fliesenleger etwas anfangen – mit ihnen läßt sich kein
| regelmäßiges Muster bilden.
|
| Die nächste interessante Frage ist die nach der Anzahl der Muster, die
| mit einer einzigen – ruhig unregelmäßig geformten – Fliesensorte
| auskommen. Die Antwort: Werden Äquivalenzen nicht mitgezählt, dann gibt
| es immerhin 93 dieser Möglichkeiten. Für Pflasterungen aus zwei
| Kachelsorten wird die Sache dann schon unübersichtlich. Daniel Huson hat
| kürzlich alle 1270 Fälle aufgezählt.
|
| Da stellt sich natürlich die Frage, wie der Flieseninteressierte bei
| dieser Mustervielfalt noch den Überblick behält. Der mathematische
| Hintergrund für diese Untersuchungen und auch für das Programm
| "RepTiles" wurde ebenfalls an der Bielefelder Uni von Professor Andreas
| Dress ersonnen, dem Schöpfer der sogenannten Delaney-Dress-Symbole. Im
| Gegensatz zu den unendlichen Mustern ist ein solches Symbol ein kleines
| Diagramm aus ein paar Kreisen, die durch Linien miteinander verbunden
| sind, und einigen Zahlenwerten. Das Elegante daran: Zu zwei äquivalenten
| Pflasterungen gehört immer dasselbe Delaney-Dress-Symbol, und zu jedem
| Symbol, das gewissen Bedingungen genügt, gibt es auch das entsprechende
| Fliesenmuster. Zur Klassifizierung mußten die Forscher also "nur noch"
| die entsprechenden Symbole vollständig aufzählen – das Zeichnen übernahm
| dann "RepTiles". Die so gewonnenen "Prototypen" lassen sich am
| Bildschirm noch beliebig verändern und bunt einfärben.
|
| Wenn Mathematiker ein Klassifizierungsproblem gelöst haben, läßt ihr
| Interesse für das Thema meist schlagartig nach. Die Bielefelder Forscher
| knobeln folglich schon an der nächsten Frage: Wie sieht es mit
| dreidimensionalen Pflasterungen aus, also der Füllung des Raumes mit
| beliebig geformten Ziegelsteinen? Für dieses Problem interessieren sich
| auch Wissenschaftler anderer Sparten, insbesondere Kristallographen.
+--- </hier abknabbern> ---

©<https://www.zeit.de/1993/15/seltsame-kacheln>

	M.f.G.

-- 
Diese E-Mail-Adresse wird nur aus nostalgischen Gründen verwendet. Sie
wird praktisch nie gelesen.  Das MausNet ist nicht tot – es riecht nur
etwas komisch... ;-)

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Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Herwig <herwig.huener@t-online.de> - 2022-05-21 02:46 -0700
  Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Hermann Riemann <nospam.ng@hermann-riemann.de> - 2022-05-21 11:56 +0200
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      Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Hermann Riemann <nospam.ng@hermann-riemann.de> - 2022-05-22 12:54 +0200
      Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Herwig <herwig.huener@t-online.de> - 2022-05-22 14:23 -0700
    Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Lars Gebauer <lgebauer@live.de> - 2022-05-21 17:29 +0200
    Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Hermann Riemann <nospam.ng@hermann-riemann.de> - 2022-05-22 13:15 +0200
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  Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Gerhard Hoffmann <dk4xp@arcor.de> - 2022-05-21 21:23 +0200
  Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Hermann Riemann <nospam.ng@hermann-riemann.de> - 2022-05-22 13:38 +0200
    Re: Beschneidung - wann tut der GesetzGeber endlich etwas? Fidel Sebastián Hunrichse-Lara <Fidel-Sebastian_Hunrichse_Lara@b.maus.de> - 2022-05-22 15:35 -0400

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