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Groups > de.sci.mathematik > #139289

Re: Verwirrte Anfänger ...

From Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid>
Newsgroups de.sci.mathematik
Subject Re: Verwirrte Anfänger ...
Date 2025-09-28 22:29 +0200
Organization ABC
Message-ID <10bc5rm$2jkb0$1@dont-email.me> (permalink)
References (7 earlier) <10ba5aa$23924$1@dont-email.me> <slrn10diihn.1f75s.martin@lounge.imp.fu-berlin.de> <10bbtt7$2h7lc$1@dont-email.me> <10bbuei$2hcs4$1@dont-email.me> <slrn10dj4bs.1hqeu.martin@lounge.imp.fu-berlin.de>

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Martin Vaeth wrote on 28.09.25 21:50:
> Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> wrote:
>> Carlo XYZ wrote on 28.09.25 20:13:
>>> Martin Vaeth wrote on 28.09.25 16:46:
>>>
>>>> Der topologische Grenzwertbegriff für Mengenfolgen geht m.W. auf
>>>> Kuratowski zurück und sieht ähnlich wie der mengentheoretische aus,
>>>> nur dass man an ein paar Stellen den topologischen Abschluss einfügen
>>>> muss.
>>>>
>>>> Leider suche ich diese Definition schon geraume Zeit wieder und habe sie
>>>> nicht mehr in der Literatur gefunden (habe aber auch praktisch keinen
>>>> offline-Zugang zu Literatur mehr). Kennt jemand eine Referenz dafür?
>>>
>>> Für eine Folge A_1, A_2, ..., A_i \subseteq X, ist x\in X im limsup,
>>>
>>>     wenn jede Umgebung von x unendlich viele A_n nichtleer schneidet
>>>
>>> und x ist im liminf, wenn
>>>
>>>     jede Umgebung von x alle außer endlich viele A_n nichtleer schneidet
>>>
>>> und der Limit existiert, wenn limsup = liminf.
>>>
>>> Meinst du das?
>>
>> Steht eigentlich auch hier drin (hattest du schon angegeben):
>>
>> <https://en.wikipedia.org/wiki/Kuratowski_convergence>
>>
>> Dir schwebt vermutlich noch etwas anderes vor.
> 
> Was ich meinte, sind geschlossene Formeln in der Art
> (wobei \overline den Abschluss bedeutet).
> 
> \liminf A_n = \overline{\bigcup_n \bigcap_{j>n} A_j}
> 
> \limsup A_n =\bigcap_n \overline{\bigcup_{j>n} A_j}
> 
> An diesen Formeln sah man eben sehr gut, dass die Definitionen für
> die diskrete Topologie (wenn \overline in NOOP ist) exakt mit den
> mengentheoretischen Definitionen zusammenfallen.

Ich hab ChatGPT gefragt :) und die KI meint, dass

[
\limsup_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \overline{\bigcup_{k 
\ge n} A_k}, \qquad
\liminf_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \overline{\bigcap_{k 
\ge n} A_k}.
]

äquivalent ist zu den Definitionen weiter oben und dass dies
aus einem oder mehreren der folgenden Bücher stammt:

* **Kuratowski, Kazimierz (1966). *Topology* Vol. I & II. Academic Press.**

* **Rockafellar, R. Tyrrell & Wets, Roger J-B (1998). *Variational 
Analysis*. Springer.**

* **Beer, Gerald (1993). *Topologies on Closed and Closed Convex Sets*. 
Kluwer.**

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Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 19:31 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 19:45 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 19:57 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-23 22:57 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 23:06 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 23:11 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-23 23:21 +0200
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        Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-24 07:27 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 13:10 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-24 16:52 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... Andreas Leitgeb <avl@logic.at> - 2025-09-24 15:49 +0000
            Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 18:43 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-24 20:16 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-09-28 01:19 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 03:08 +0200
              Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 04:08 +0200
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                Re: Verwirrte Anfänger ... Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2025-09-28 15:11 +0000
                Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-28 17:31 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 20:13 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid> - 2025-09-28 20:23 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2025-09-28 19:50 +0000
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        Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-24 14:07 +0200
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      Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-25 11:11 +0000
        Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-25 16:34 +0200
          Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-25 21:33 +0000
            Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-26 13:02 +0200
              Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-26 12:26 +0000
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-26 21:53 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-27 14:15 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 12:17 +0200
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                Re: Austausch ohne Verluste Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 15:21 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 15:42 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-04 19:00 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-05 10:36 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-05 17:07 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-05 18:18 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 16:14 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 16:58 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 18:39 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 18:40 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-05 19:07 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-05 17:15 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-05 18:48 +0200
                Re: Austausch ohne Verluste joes <noreply@example.org> - 2025-09-27 10:57 +0000
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 16:53 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 16:54 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-24 16:55 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-24 17:02 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-26 16:00 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-26 16:03 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-26 17:31 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-26 22:09 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... // TH32 Grenzwert Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2025-09-23 19:56 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-09-23 22:27 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-09-25 00:39 +0200
  Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-09-27 21:10 +0200
    Re: Verwirrte Anfänger ... "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2025-09-29 10:43 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-29 12:10 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2025-09-29 13:36 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-09-29 17:00 +0200
      Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-02 20:32 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-03 02:36 +0200
          Off topic - Null und Nichts etc (was: Verwirrte Anfänger ...) Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-04 01:47 +0200
            Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-04 18:04 +0200
              Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-06 12:47 +0200
            Re: Off topic - Null und Nichts etc "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2025-10-06 13:27 +0200
              Re: Off topic - Null und Nichts etc Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-06 15:58 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-06 16:18 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-07 21:46 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:15 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:40 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:23 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 22:29 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-08 21:00 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-08 21:03 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-08 22:32 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-08 22:39 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 02:29 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 02:29 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 04:17 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-09 04:33 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-08 22:53 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-07 23:20 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc "Klaus H." <kl.huller@web.de> - 2025-10-08 10:34 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-08 11:07 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 02:45 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 02:56 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 03:01 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 03:02 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:24 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:24 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:25 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 05:35 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-07 21:16 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-07 21:08 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-07 23:28 +0200
                Re: Off topic - Null und Nichts etc WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-08 20:04 +0200
        Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-05 16:17 +0200
          Re: Verwirrte Anfänger ... Ulrich D i e z <ud.usenetcorrespondence@web.de> - 2025-10-06 15:31 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-06 15:42 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 02:47 +0200
              Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 07:00 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-07 07:02 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-08 06:28 +0200
            Re: Verwirrte Anfänger ... Martin Vaeth <martin@mvath.de> - 2025-10-07 05:13 +0000
            Re: Verwirrte Anfänger ... Moebius <invalid@example.invalid> - 2025-10-13 18:29 +0200
              Re: Verwirrte Anfänger ... WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de> - 2025-10-14 22:32 +0200
                Re: Verwirrte Anfänger ... Blacky Cat <paule32.jk@gmail.com> - 2025-10-15 05:46 +0200

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