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Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen

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  Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-22 10:58 -0700
    Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen wernertrp <wernertrp@googlemail.com> - 2016-07-23 07:13 -0700
      Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-23 12:15 -0700
        Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-23 12:17 -0700
          Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-23 12:19 -0700
            Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-23 12:22 -0700
              Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen vertrockneter Apfel <golga@yahoo.com> - 2016-07-23 22:37 +0200
                Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen vertrockneter Apfel <gabo@yahoo.com> - 2016-07-23 22:49 +0200
                  Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-23 16:50 -0700
                    Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen vertrockneter Apfel <babo@yahoo.com> - 2016-07-24 02:06 +0200
                      Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-24 01:17 -0700
                        Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-24 01:23 -0700
                          Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen durchgeschnittene Orange <germanmidnightrunner@gmail.com> - 2016-07-24 01:26 -0700
                      Re: Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2016-07-24 11:16 +0200

#98029 — Wir müssen die Determinanten endlich auswendig lernen um Fortschritte in der Gravitonen-Forschung zu erreichen

Wronski-Determinante
Pfaffsche Determinante
Vandermonde-Determinante
Gramsche Determinante
Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante)

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#98033

Am Freitag, 22. Juli 2016 19:58:46 UTC+2 schrieb durchgeschnittene Orange:
> Wronski-Determinante
> Pfaffsche Determinante
> Vandermonde-Determinante
> Gramsche Determinante
> Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante)

abnorme Gouvernante

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#98040

Am Samstag, 23. Juli 2016 16:13:57 UTC+2 schrieb wernertrp:
> Am Freitag, 22. Juli 2016 19:58:46 UTC+2 schrieb durchgeschnittene Orange:
> > Wronski-Determinante
> > Pfaffsche Determinante
> > Vandermonde-Determinante
> > Gramsche Determinante
> > Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante)
> 
> abnorme Gouvernante

bitte junge ....

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#98042

Man kann in der Matrizenrechnung nur Determinanten von quadratischen Matrizen als Maß für die Volumenänderung ihrer Abbildung definieren. Für andere rechteckige Matrizen gibt es Minoren und Gramsche Determinanten (nach Jørgen Pedersen Gram), die Ähnliches leisten.

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#98043

Keiner schreibt seinen Bildungsgrad ins Profil rein - die Google Programmierer sind verwundert !

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#98044

I a   b I
I       I
I c   d I

ist eine quadratische 2x2 Matrix.

Hier ist die Determinante Det einfach, Det = a*d-b*c

Was ist bei einer 3x3 Matrix ?

Und:

Ist die Funktionalmatrix die das Elektron beschreibt unendlichxunendlich ?

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#98046

Am 23.07.2016 um 21:22 schrieb durchgeschnittene Orange:
> I a   b I
> I       I
> I c   d I
>
> ist eine quadratische 2x2 Matrix.
>
> Hier ist die Determinante Det einfach, Det = a*d-b*c
>
> Was ist bei einer 3x3 Matrix ?
>
> Und:
>
> Ist die Funktionalmatrix die das Elektron beschreibt unendlichxunendlich ?
>

Mathe 1. Semester - Grundlagen

Müssen wir die RAF-Veteranen noch mit Spenden unterstützen? - JA!

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#98047

[...]

2010 war ich in Moskau und weit im Osten Rußlands um einiges 
vorzubereiten für meine Freunde.

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#98048

Am Samstag, 23. Juli 2016 22:49:52 UTC+2 schrieb vertrockneter Apfel:
> [...]
> 
> 2010 war ich in Moskau und weit im Osten Rußlands um einiges 
> vorzubereiten für meine Freunde.

Sacharow hat schon mit Determinanten die Wasserstoffbombe berechnet.

Kauf dir eine für deine Freunde !

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#98049

Am 24.07.2016 um 01:50 schrieb durchgeschnittene Orange:
> Sacharow hat schon mit Determinanten die Wasserstoffbombe berechnet.
>
> Kauf dir eine für deine Freunde !
>
Nein, die Bestrebungen der CDU/CSU Rußland erneut angreifen zu wollen 
sind von der Geschichte überholt worden. -

Außerdem sind in den letzten 26 Jahren die restlichen Altnazis gestorben 
u. abgesägt worden. Meine Freunde von der RAF und ich sind zunächst 
arbeitslos. -

Ich könnte jetzt das Thema Determinaten wiederholen.

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#98056

Am Sonntag, 24. Juli 2016 02:06:58 UTC+2 schrieb vertrockneter Apfel:
> Am 24.07.2016 um 01:50 schrieb durchgeschnittene Orange:
> > Sacharow hat schon mit Determinanten die Wasserstoffbombe berechnet.
> >
> > Kauf dir eine für deine Freunde !
> >
> Nein, die Bestrebungen der CDU/CSU Rußland erneut angreifen zu wollen 
> sind von der Geschichte überholt worden. -
> 
> Außerdem sind in den letzten 26 Jahren die restlichen Altnazis gestorben 
> u. abgesägt worden. Meine Freunde von der RAF und ich sind zunächst 
> arbeitslos. -
> 
> Ich könnte jetzt das Thema Determinaten wiederholen.

" Meine Freunde von der RAF .... "

Die Atomphysik ist nicht mehr die große Goldgrube ..

Functional Determinants in Quantum Field Theory
arxiv.org › hep-th
Diese Seite übersetzen
von GV Dunne - ‎2007 - ‎Zitiert von: 50 - ‎Ähnliche Artikel
07.11.2007 - ... and mathematical physics, and in particular in quantum field theory. ... problem so that the functional determinant can be computed without ...

Die QFT erklärt uns die Kernspaltung.

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#98057

Ich kann mich heute nicht sehr gut konzentrieren.

Wiki schreibt:



Die Funktionaldeterminante oder Jacobi-Determinante ist eine mathematische Größe, die in der mehrdimensionalen Integralrechnung, also der Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen, eine Rolle spielt. Insbesondere findet sie in der Flächenformel und dem aus dieser hervorgehenden Transformationssatz Verwendung.


Lokales Verhalten einer Funktion

Die Funktionaldeterminante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion f {\displaystyle f} f in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Funktionaldeterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt p {\displaystyle p} p ungleich null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von p {\displaystyle p} p invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in p {\displaystyle p} p die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Funktionaldeterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt p {\displaystyle p} p gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von p {\displaystyle p} p expandiert oder schrumpft.
Definition

Für eine differenzierbare Funktion f : R n → R n {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} f\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n} ist die Funktionaldeterminante definiert als die Determinante der Jacobi-Matrix von f {\displaystyle f} f, also als

    det D f ( x ) {\displaystyle \det \,Df(x)} \det \,Df(x)

mit

    D f ( x ) = ( ∂ f i ∂ x j ( x ) ) i , j = 1 , … , n {\displaystyle Df(x)=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)\right)_{i,j=1,\dotsc ,n}} Df(x)=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)\right)_{{i,j=1,\dotsc ,n}}.

Für die Transformation von Volumenelementen, einen wichtigen Anwendungsfall in der Physik, reicht diese Definition aus. Die Flächenformel der Maß- und Integrationstheorie beschreibt dagegen auch, wie sich Integrale über Funktionen, die Räume unterschiedlicher Dimension ineinander abbilden, transformieren. In diesem Anwendungsfall ist D f {\displaystyle Df} Df keine quadratische Matrix mehr, sodass der Ausdruck oben nicht mehr definiert ist. Man verwendet dann die folgende Definition:

Die verallgemeinerte Funktionaldeterminante einer Funktion f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} f:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{m} ist definiert als

    J f ( x ) := det ( ( D f ( x ) ) T ⋅ D f ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {J}}\!f(x):={\sqrt {\det \left(\left(Df(x)\right)^{T}\cdot Df(x)\right)}}} {\mathcal J}\!f(x):={\sqrt {\det \left(\left(Df(x)\right)^{T}\cdot Df(x)\right)}}

Dabei bezeichnet D f ( x ) ∈ R m × n {\displaystyle Df(x)\in \mathbb {R} ^{m\times n}} Df(x)\in \mathbb{R} ^{{m\times n}} die Jacobi-Matrix und ( D f ( x ) ) T {\displaystyle (Df(x))^{T}} (Df(x))^{T} ihre Transponierte. Der Ausdruck det ( ( D f ( x ) ) T ⋅ D f ( x ) ) {\displaystyle \det \left(\left(Df(x)\right)^{T}\cdot Df(x)\right)} \det \left(\left(Df(x)\right)^{T}\cdot Df(x)\right) wird gramsche Determinante von D f {\displaystyle Df} Df genannt.

Solange die betrachtete Abbildung keine Selbstabbildung ist, ist es üblich, das Präfix verallgemeinerte wegzulassen. Bei Selbstabbildungen kann dies allerdings zu Missverständnissen führen, da beide Definitionen im Allgemeinen unterschiedliche Werte annehmen. Es gilt ja

    J f ( x ) = ( det D f ) 2 = | det D f | ≠ det D f {\displaystyle {\mathcal {J}}\!f(x)={\sqrt {(\det Df)^{2}}}=|\det Df|\neq \det Df} {\mathcal J}\!f(x)={\sqrt {(\det Df)^{2}}}=|\det Df|\neq \det Df

Im Kontext der Flächen- bzw. Transformationsformel wird allerdings ohnehin immer der Betrag verwendet.
Beispiele

Bei der Integration über geometrische Objekte ist es oft unpraktisch, über kartesische Koordinaten zu integrieren. So lässt sich in der Physik das Integral über ein radialsymmetrisches Potentialfeld, dessen Wert nur von einem Radius r {\displaystyle r} r abhängt, wesentlich leichter in Kugelkoordinaten berechnen.

Um dies zu tun, wendet man eine Koordinatentransformation Φ {\displaystyle \Phi } \Phi an. Nach dem Transformationssatz gilt dann in diesem Beispiel:

    ∫ Ω U ( r → ) d V = ∫ Φ − 1 ( Ω ) U ( Φ ( r , θ , φ ) ) ⋅ | det D Φ ( r , θ , φ ) | d r d θ d φ {\displaystyle \int _{\Omega }U({\vec {r}})dV=\int _{\Phi ^{-1}(\Omega )}U(\Phi (r,\theta ,\varphi ))\cdot \left|\det D\Phi (r,\theta ,\varphi )\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi } \int _{{\Omega }}U({\vec r})dV=\int _{{\Phi ^{{-1}}(\Omega )}}U(\Phi (r,\theta ,\varphi ))\cdot \left|\det D\Phi (r,\theta ,\varphi )\right|\,{\mathrm {d}}r\,{\mathrm {d}}\theta \,{\mathrm {d}}\varphi 

Im Folgenden sind Rechnungen zu drei Koordinatensystemen aufgeführt:
Polarkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten lauten:

    x = r cos ⁡ φ {\displaystyle x=r\cos \varphi } x=r\cos \varphi 
    y = r sin ⁡ φ {\displaystyle y=r\sin \varphi } y=r\sin \varphi 

Die Funktionaldeterminante lautet also:

    det ∂ ( x , y ) ∂ ( r , φ ) = det ( cos ⁡ φ − r sin ⁡ φ sin ⁡ φ r cos ⁡ φ ) = r {\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{pmatrix}}=r} \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{pmatrix}}=r

Folglich ergibt sich für das Flächenelement d A {\displaystyle \mathrm {d} A} \mathrm {d} A:

    d A = | det ∂ ( x , y ) ∂ ( r , φ ) | d r d φ = r d r d φ . {\displaystyle \mathrm {d} A=\left|\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi =r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi .} {\mathrm {d}}A=\left|\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}\right|\,{\mathrm {d}}r\,{\mathrm {d}}\varphi =r\,{\mathrm {d}}r\,{\mathrm {d}}\varphi .

Kugelkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten ( r , θ , φ {\displaystyle r,\theta ,\varphi } r,\theta ,\varphi ) in kartesische Koordinaten lauten:

    x = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ {\displaystyle x=r\sin \theta \cos \varphi } x=r\sin \theta \cos \varphi ,
    y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ {\displaystyle y=r\sin \theta \sin \varphi } y=r\sin \theta \sin \varphi und
    z = r cos ⁡ θ {\displaystyle z=r\cos \theta \quad } z=r\cos \theta \quad .

Die Funktionaldeterminante lautet also:

    det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) = det ( sin ⁡ θ cos ⁡ φ r cos ⁡ θ cos ⁡ φ − r sin ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ r cos ⁡ θ sin ⁡ φ r sin ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 ) = r 2 sin ⁡ θ . {\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin \theta .} \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}=r^{2}\sin \theta .

Folglich ergibt sich für das Volumenelement d V {\displaystyle \mathrm {d} V} \mathrm {d} V:

    d V = | det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) | d r d θ d φ = r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ . {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .} {\mathrm {d}}V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,{\mathrm {d}}r\,{\mathrm {d}}\theta \,{\mathrm {d}}\varphi =r^{2}\sin \theta \,{\mathrm {d}}r\,{\mathrm {d}}\theta \,{\mathrm {d}}\varphi .

Manchmal ist es praktischer mit folgender Konvention zu arbeiten:

    x = r cos ⁡ θ cos ⁡ φ {\displaystyle x=r\cos \theta \cos \varphi } {\displaystyle x=r\cos \theta \cos \varphi },
    y = r cos ⁡ θ sin ⁡ φ {\displaystyle y=r\cos \theta \sin \varphi } {\displaystyle y=r\cos \theta \sin \varphi } und
    z = r sin ⁡ θ {\displaystyle z=r\sin \theta \quad } z=r\sin \theta \quad .

Die Funktionaldeterminante lautet somit:

    det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) = det ( cos ⁡ θ cos ⁡ φ − r sin ⁡ θ cos ⁡ φ − r cos ⁡ θ sin ⁡ φ cos ⁡ θ sin ⁡ φ − r sin ⁡ θ sin ⁡ φ r cos ⁡ θ cos ⁡ φ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 0 ) = − r 2 cos ⁡ θ . {\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \cos \varphi &-r\cos \theta \sin \varphi \\\cos \theta \sin \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta &r\cos \theta &0\end{pmatrix}}=-r^{2}\cos \theta .} {\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \cos \varphi &-r\cos \theta \sin \varphi \\\cos \theta \sin \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta &r\cos \theta &0\end{pmatrix}}=-r^{2}\cos \theta .}

Somit ergibt sich für das Volumenelement d V {\displaystyle \mathrm {d} V} \mathrm {d} V:

    d V = | det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) | d r d θ d φ = r 2 cos ⁡ θ d r d θ d φ . {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .} {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}

Zylinderkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten ( ρ {\displaystyle \rho } \rho , φ {\displaystyle \varphi } \varphi , z {\displaystyle z} z) in kartesische Koordinaten lauten:

    x = ρ cos ⁡ φ {\displaystyle x=\rho \cos \varphi } x=\rho \cos \varphi 
    y = ρ sin ⁡ φ {\displaystyle y=\rho \sin \varphi } y=\rho \sin \varphi 
    z = z {\displaystyle \!z=z} \!z=z

Die Funktionaldeterminante lautet also:

    det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , φ , z ) = det ( cos ⁡ φ − ρ sin ⁡ φ 0 sin ⁡ φ ρ cos ⁡ φ 0 0 0 1 ) = ρ . {\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,z)}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\rho .} \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,z)}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\rho .

Folglich ergibt sich für das Volumenelement d V {\displaystyle \mathrm {d} V} \mathrm {d} V:

    d V = | det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , φ , z ) | d ρ d φ d z = ρ d ρ d φ d z . {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,z)}}\right|\,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.} {\mathrm {d}}V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,z)}}\right|\,{\mathrm {d}}\rho \,{\mathrm {d}}\varphi \,{\mathrm {d}}z=\rho \,{\mathrm {d}}\rho \,{\mathrm {d}}\varphi \,{\mathrm {d}}z.

Genauso gut hätte man eine andere Reihenfolge der Zylinderkoordinaten wählen können. Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise:

    det ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , z , φ ) = det ( cos ⁡ φ 0 − ρ sin ⁡ φ sin ⁡ φ 0 ρ cos ⁡ φ 0 1 0 ) = − ρ . {\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,z,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &0&\rho \cos \varphi \\0&1&0\end{pmatrix}}=-\rho .} \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,z,\varphi )}}=\det {\begin{pmatrix}\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &0&\rho \cos \varphi \\0&1&0\end{pmatrix}}=-\rho .

In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der Betrag der Determinante ein, also ist das Ergebnis dann unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.

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#98058

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Von euch weiß natürlich wieder keiner was ein Funktional ist.

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Als Funktional bezeichnet man in der Mathematik zumeist eine Funktion aus einem Vektorraum V {\displaystyle V} V in den Körper, der dem Vektorraum zugrunde liegt.

Oft ist V ein Funktionenraum, also ein Vektorraum, dessen Elemente reell- oder komplexwertige Funktionen sind. Ein Funktional ist somit eine Funktion auf Funktionen. Der mathematische Teilbereich der Funktionalanalysis bekam seinen Namen, da er historisch aus dem Studium solcher Funktionale hervorging.

Als grundlegende Unterscheidung ist es sinnvoll, lineare und nichtlineare Funktionale gesondert zu betrachten, da diese beiden Arten von Funktionalen auf sehr unterschiedliche Weise in der Mathematik behandelt werden. In beiden Fällen beschränken wir uns hier auf die fast ausschließlich untersuchten Fälle, in denen der Zahlenkörper (Skalarkörper) der Körper der reellen Zahlen K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } \mathbb {K} =\mathbb {R} oder der Körper der komplexen Zahlen K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } \mathbb {K} =\mathbb {C} ist.

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#98061

vertrockneter Apfel wrote:

> Ich könnte jetzt das Thema Determinaten wiederholen.

… oder endlich final sterben gehen[tm].

-- 
PointedEars, fuppend°

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