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Groups > de.sci.physik > #142494
| From | Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> |
|---|---|
| Newsgroups | de.sci.physik |
| Subject | Re: Fallen schwere Koerper schneller? |
| Date | 2022-10-29 14:17 +0200 |
| Message-ID | <js4jueF6f63U1@mid.individual.net> (permalink) |
| References | (4 earlier) <jrv9ncFbrc9U1@mid.individual.net> <2285751.ElGaqSPkdT@PointedEars.de> <js09slFgl5nU1@mid.individual.net> <js1u9sFofguU1@mid.individual.net> <js30hbFtiq4U3@mid.individual.net> |
Hans-Peter Diettrich schrieb:
> On 10/28/22 1:55 PM, Dieter Heidorn wrote:
>> Hans-Peter Diettrich schrieb:
>
>> Zunächst wird die Erde als homogene Kugel idealisiert.
>> Aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz lässt sich dafür ableiten, was
>> Thomas schrieb:
>>
>>>> g = G M/r².
>>>>
>>>> Die Gravitationsbeschleunigung hängt also nur von der Masse M des
>>>> Primärkörpers und dem Abstand r zu dessen Gravitationszentrum ab.
>>>> NICHT von der Masse m des Testkörpers.
>
> Natürlich nicht, weil die Masse des Testkörpers in den Abstand r bereits
> eingegangen ist.
m_1 m_2
---|----------------------|-----
x_1 x_2
|<--- r = x_2 - x_1--->|
Die anfängliche Positionierung zweier Massen ist völlig freigestellt und
hängt nicht von einer der beiden Massen ab - siehe die Vorgaben im
Stefans Ausgangsposting:
> Nehmen wir einmal an, eine Kugel mit einem Durchmesser von
> einem Zentimeter befinde sich so über dem Erdboden gehalten,
> daß ihr Abstand zur Erde einen Meter beträgt. Nun wird die
> Halterung schlagartig gelöst, so daß die Kugel frei fallen
> kann.
>
> Die Kugel habe einmal eine Masse von einem Gramm ("leichte
> Kugel") und einmal von zehn Gramm ("schwere Kugel"). Alle
> anderen Umstände - abgesehen von der Masse der Kugel - sollen
> in beiden Fällen gleich sein.
Die gravitativen Wechselwirkungskräfte zwischen den beiden Massen:
F_1 = F_2 = G m_1 m_2 / r^2
sind betragsmäßig gleich und entgegengesetzt gerichtet (3. Newtonsches
Gesetz):
|---> F_1 F_2 <---|
m_1 m_2
|----------------------|-----
Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz (F = m a) erhält man die
Beschleunigungen:
F_1 = m_1 * G m_2 / r^2 = m_2 * G m_1 / r^2 = F_2
m_1 * a_1 = m_2 * a_2
Abzulesen ist:
a_1 = G m_2 / r^2 , a_2 = G m_1 / r^2.
Die Beschleunigungen verhalten sich umgekehrt wie die Massen:
a_2 / a_1 = m_1 / m_2 .
Beispiel: Körper 1 sei die Erde (idealisiert als homogene Kugel
betrachtet), Körper 2 eine homogene Kugel, die so angehoben wird, dass
ihr Massenmittelpunkt um h = 1 m über der Erdoberfläche liegt:
m_1 = M_E = 5,974e24 kg , r_1 = r_E = 6,371e6 m
Für die Kugel wird gewählt:
m_2 = 1 kg , r_2 = 3 cm
Der anfängliche Abstand der beiden Massenmittelpunkte ist dann
r = r_1 + h = 6,371001e6 m.
Gibt man die Kugel zur Zeit t = 0 frei, dann sind die
Anfangsbeschleunigungen
Erde: a_E = a_1 = G m_2 / r^2 = 1,644e-24 m/s^2
Kugel: a_K = a_2 = G M_E / r^2 = 9,823 m/s^2
Während des Falls der Kugel kann die Erde also als ruhend angesehen
werden. Die Fallzeit ergibt sich (bei Verwendung der konstanten
Anfansbeschleunigung a_2) zu
t = 0,444404853 s.
Mit einem kleinen Programm, dass den Fall in Zeitintervalle zerlegt, und
jeweils Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung beider Körper in
Abhängigkeit von der Zeit berechnet, ergibt sich bei der Schrittweite
dt = 1e-6 s für die Fallzeit:
t = 0,4444099999950278 .
>> Im Gravitationsgesetz
>>
>> F_12 = F_21 = G m_1 m_2 / r^2
>>
>> bezeichnet r stets den Abstand der Schwerpunkte der beiden sich
>> wechselseitig gravitativ anziehenden Massen.
>
> Würde das nicht bedeuten, daß sich die Kraft zwischen Erde und 2
> gleichen Testkörpern gegenüber nur 1 Testkörper *verdoppelt*?
Wenn die zwei gleichen Testkörper (ich wähle Kugeln) zu einem Testkörper
zusammengefasst werden können, dann verdoppelt sich die gravitative
Wechselwirkungskraft.
Erde und 1 Kugel:
m_1 = m_E , m_2 = m_K ,
F_12 = F_21 = G_ m_E m_K / r^2
Erde und 2 zusammengefasste Kugeln gleicher Masse:
m_1 = m_E , m'_2 = 2*m_K ,
F'_12 = F'_21 = G m_E m'_2 / r^2 = 2 * F_12
Sind die Kugeln nicht als verbunden zu betrachten und beliebig
positionierbar, dann hat man es mit einem Drei-Körper-Problem zu tun,
und muss die Bewegung von Erde und den beiden Kugeln unter Wirkung der
paarweisen Wechselwirkungskräfte zwischen Erde und Kugel 1, Erde und
Kugel 2, Kugel 1 und Kugel 2 berechnen. Haben die Kugeln wie oben Massen
in der Größenordnung von einigen Kilogramm, dann kann die Erde als
ruhend betrachtet werden, und die Fallbewegungen der beiden Kugeln
können als unabhängig angenommen werden.
> Wer findet den Fehler?
Welchen Fehler?
Dieter Heidorn
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