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Groups > de.sci.mathematik > #142674

Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition

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Am 26.03.2026 um 01:08 schrieb Marc Olschok:
> 
> ... aus z.B. der Nichtexistenz von sup(I) kann
> man i.A. nicht folgern, dass I nach oben unbeschränkt ist.
> Man nehme etwa die Menge
> L = { 1/n, -1/n | 0 < n in N } mit der aus Q geerbten linearen Ordnung
> und
> I = { -1/n | 0 < n in N }.
> 

Der Knackpunkt ist hier, dass der Wert 0 nicht als 1/n oder -1/n 
schreibbar ist. Das ähnelt der klassischen Dedekind-Situation, in der 
der Wert sqrt(2) nicht als rationale Zahl vorliegt. Dort führt die 
"Tabu-Gleichung" x^2 = 2 auf den Schnitt (A|B) mit den Schnittmengen
A = {x in Q | x < 0 oder x^2 < 2}
und
B = {x in Q | x > 0 und x^2 >= 2}.
Es existiert dann sup(A) nicht in Q, wohl aber in einer 
Vervollständigung von Q, in der der Schnitt (A|B) realisiert ist, z.B. 
in V(Q) = R.

In ähnlicher Weise betrachte ich in der Menge L die "Tabu-Gleichung" 
(x+1)^2 = 1 zur Schnitt-Bildung (A|B) mit
A = {x in L | (x+1)^2 < 1}
und
B = {x in L | (x+1)^2 >= 1}.

Dann ist I = A < B, d.h. I ist nach oben beschränkt, aber es existiert 
sup(A) nicht in L, wohl aber in der um den Schnitt (A|B) erweiterten 
Vervollständigung von L zu V(L).

Ich bin zwar ein wenig stolz auf das lustige Tabu-Polynom (x+1)^2, bin 
mir aber bei der sauberen ordnungstheoretischen Einordnung meiner 
Erfindung etwas unsicher.

Ich finde das Thema weiterhin faszinierend und freue mich über Klärung.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

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  Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) - 2026-03-19 22:46 +0000
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