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Groups > de.sci.physik > #146269

Re: Herleitung der kinetischen Energie

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Stefan Ram wrote:

>   Es ist für mich erstaunlich, daß die kinetische Energie einer
>   Impulsänderung bei höherer Geschwindigkeit größer wird.

Pseudowissenschaftlicher Wortsalat.

Kinetische Energie ist eine *Eigenschaft* physikalischer Systeme.  
Impulsänderung ist ein *Prozess*.  Es ist daher grober Unfug, von
der „kinetischen Energie einer Impulsänderung“ zu sprechen.
 
>   Daher fragte ich mich, ob ich nicht die quadratische Form der
>   kinetischen Energie irgendwie begründen könnte.

Hier gibt es zwei typische, korrekte Ansätze.

1. Newtonsche Mechanik:

   Die kinetische Energie eines Körpers muss ein Mass dafür sein, wieviel
   Energie ihm in Ruhe durch eine Kraft zugeführt werden muss, damit er
   eine bestimmte Relativgeschwindigkeit erreicht.  Dies muss dieselbe
   Energie sein, die ihm entzogen werden muss (indem er Arbeit an der
   Umgebung verrichtet, bzw. Arbeit an ihn entgegen seiner Bewegungsrichtung
   verrichtet wird), um ihn von dieser Geschwindigkeit ausgehend zur Ruhe
   zu bringen.

   Integriert man also die infinitesimale geleistete mechanische
   Arbeit über die Zeit, dann erhält man die kinetische Energie:

     T = ∫_0^t dx⃗ · F⃗
       = ∫_0^t dt' dx⃗/dt' · F⃗(t')
       = ∫_0^t dt' v⃗ · F⃗(t')
       = ∫_0^t dt' v⃗ · dp⃗/dt'
       = ∫_0^t dp⃗ · v⃗
       = ∫_0^t d(m v⃗) · v⃗
       = ∫_0^t d(1/2 m v²)
       = 1/2 m v².

   (vgl. <https://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy#Derivation>)

2. Speziell-relativistische Mechanik:

   Die Energie–Impuls-Beziehung – herleitbar aus dem Quadrat der
   (Minkowski-)Norm des Viererimpulses P = m U = m γ (c, v⃗) = (E/c, p⃗),

     ⟨P, P⟩ = P^a P_b
            = η_ab P^a P^b
            = (P⁰)² − (P^i)²
            = γ² m² (c² − v⃗²) = m²c² γ² 1/γ² = m²c² =(!) E²/c² − p²,

   [1] – ist

     E² = m²c⁴ + p⃗²c².

   Die Ruhe-Energie ist somit

     E₀ ≔ E(p⃗ = 0⃗) = m c².

   Für ein freies Teilchen mit Masse m ≠ 0 kann mit p⃗ = γ m v die
   Gesamtenergie auch geschrieben werden als

     E  = γ m c².

   Somit ist die kinetische Energie des Teilchens

     T ≔ E − E₀ = γ m c² − m c² = m c² (γ − 1).

   Entwickelt man dies in eine Taylor-Reihe für kleine Geschwindigkeiten
   (bei v₀ = 0), so erhält man

     T = ∑_{n=0}^∞ 1/n! dⁿT/dvⁿ|_{v=0} vⁿ = 1/2 m v² + O(v⁴/c²).

   Alternativ kann man (so wie Einstein es tat, bevor Dirac 1928 die
   Energie–Impuls-Beziehung formulierte) auch die Gesamtenergie
   für m ≠ 0 in derselben Weise in eine Taylor-Reihe entwickeln.
   Dann erhält man (wie erwartet)

     E  = m c² + 1/2 m v² + O(v⁴/c²).

   Der geschwindigkeitsunabhängige erste Term muss die Ruhe-Energie
   darstellen, die übrigen Terme müssen die kinetische Energie darstellen.
   Für kleine |v⃗| werden jeweils die Terme höherer Ordnung unbedeutend
   klein, und man erhält als Näherung ab dem ersten bzw. zweiten Term die
   newtonsche kinetische Energie.

   [Experimente mit Teilchengeschleunigern zeigen, dass die newtonsche
    Mechanik nicht richtig sein kann, denn die erreichten
    Kollisionsenergien entsprechen Teilchengeschwindigkeiten, die
    gemäss der newtonschen Mechanik dem Hundertfachen von c entsprechen.
    Solche Geschwindigkeiten werden aber nicht beobachtet: die
    Geschwindigkeiten sind immer kleiner als c.  Hingegen passen
    die Beobachtungen genau zu den Vorhersagen der SRT: bei hohen
    Geschwindigkeiten werden die Terme höherer Ordnung signifikant,
    und die Ruhe-Energie diesen gegenüber so unbedeutend klein, dass man
    für die Kollisionsenergie nur die kinetische Energie angibt.]


PointedEars
___________
[1] <http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.26900.58240>
-- 
Q: How many theoretical physicists specializing in general relativity
   does it take to change a light bulb?  
A: Two: one to hold the bulb and one to rotate the universe.
(from: WolframAlpha)

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Re: Herleitung der kinetischen Energie Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2023-03-25 23:38 +0100
  Re: Herleitung der kinetischen Energie Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2023-03-26 00:12 +0100
  Re: Herleitung der kinetischen Energie Ned Kelly <ned.kelly@nefkom.net> - 2023-03-26 08:35 +0100
    Re: Herleitung der kinetischen Energie Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2023-03-26 19:33 +0200

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