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(還原)微積分詮釋

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此文目的在於建立電腦算法基礎.
此檔置於 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/RealNumber-zh.txt/download
並會不時更新.

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| 實數 |
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n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個正負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-,+] <dstr1> [ . <dstr2> ]
         <dstr1>::= <nzd> [{ 0, <nzd> } <nzd>]
         <dstr2>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd> ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         任兩n-進制數x,y相同 iff x,y的上述表達完全相同

實數ℝ::= {x| x爲n-進制定㸃數符號所表數. 表達x的數字串符號可無限長}

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數.
           　順便簡短說明常見的代數魔術:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証 (1) => (2). (2)式實爲"0.999..."的解釋.

實數基本上就這麽簡單. 極限理論爲尋找導數的方法論,與實數定義無關 (若有關係,類似
以上的'ℝ'也要先定義,否則已後的推論很難避開遁環論証問題).

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| (還原)微積分詮釋 |
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微積分基本上是由求算函數面積問題開始: 設F爲f的面積函數. 由函數面積義意可得:

    (F(x+h)-F(x)) ≒ (f(x+h)+f(x))*(h/2)    // h是個足夠小的偏移量
<=> (F(x+h)-F(x))/h ≒ (f(x+h)+f(x))/2

F期望性質: (1)誤差|lhs-rhs|隨微小偏移量h嚴格遞遞減 (2)h=0時,lhs=rhs
因lhs的h不能是0,所以微積分的基本問題就是尋求能使以上敘述成立的F(或f).

F期望性質(1)可能可以放鬆,只要這様的F仍是(認可的)面積函數即可. 故,上敘述可表達成:

  Lim(h->0) (F(x+h)-F(x))/h = f(x)

  註: (1)Lim義意與課本的lim相同,但要求數式必須有效處理成h能以0代入的形式後的結果
      否則邏輯結論永遠是趨近值 (2)上式視爲可推導的恆等式,非定義 (3)這裏沒提到有
      關無限大(或小)的問題

連續(函數)::= 函數f於a點連續 iff f(a)可由'附近值'f(a+h)逼近(滿足ε-δ敘述).

  註1: 若借用極限符號及其概念表達, 則lim(h->0) f(x+h)= f(x)
  註2: 微積分理論的基本難點應是証明h=0的狀況(己知:冪函數的微分成立). 對於複雜
       問題(>=NP, P≠NP應已得証 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/PNP-proof.txt/download
),
       大部份疊代算法都依賴解域的某種連續性,藉由搜尋附近值尋得. 所以,F期望性質
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(還原)微積分詮釋 wij <wyniijj5@gmail.com> - 2024-03-13 12:12 +0800

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