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Inflation, Zinseszins (was: Harald Lesch rechnet)

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[Zitat repariert; bitte  
<http://web.archive.org/web/20160206170740/http://www.afaik.de:80/usenet/faq/zitieren/> 
lesen und beherzigen]

Josef Fluge wrote in de.sci.physik:

> […] Rolf Bombach […] [trollte in de.sci.physik]:
>> "2008 bis 2022 haben wir kaum Inflation gehabt. Hätten wir jedes
>> Jahr 2 Prozent Inflation gehabt, wären das über 14 Jahre 28 Prozent."
>>
>> Hätte jetzt auf 32% getippt.

Richtig.

>> Rechnen Astrophysiker so? Oder Naturphilosophen?
> 
> Ich versuch's auch mal mit der Zinsformel ohne Zinseszins.
> Kapital * Zinssatz * Jahre = Zins
> Kapital * Inflationsrate * Jahre = Wertminderung
> Beispiel: (Anfangs-)Kapital = 100 EUR
> 100 EUR  *  0,02/Jahr * 14 Jahre = 2 * 14 = 28 EUR Wertminderung
> (Inflationsrate ohne Minuszeichen gerechnet)
> 100 EUR  ---  100 %
> 28 EUR  --  28 %
> Sind  28 %  Inflation pro  14 Jahre.
> 
> Keine Gewähr, es darf ggfs. gelästert werden;
> mit ü70 bin ich froh, dass ich noch weiter als bis 3 zählen kann.

Abgesehen davon, dass das nichts mit Physik zu tun hat (ausser dass Lesch 
auch theoretischer Astrophysiker ist):

Das Problem ist gerade – und deshalb ist Leschs Aussage falsch: er 
*unterschätzt* die Inflation –, dass man hier die Zinseszins-Formel anwenden 
*muss*.

Denn die jährliche Inflation (Preissteigerungsrate, Teuerung) wird in 
Prozent (vom Hundertsten) des jeweils *früheren* Wertes, also des 
*Vorjahres*, berechnet und angegeben und nicht (wie bei Wahlergebnissen)
in Prozentpunkten:

<https://de.wikipedia.org/wiki/Inflation>

Es ergibt sich die rekursive Formel

  Iₙ = Iₙ₋₁ (1 + pₙ); n > 0; 0 < pₙ < 1; I₀ ≔ const.

Man findet dann für die iterative Formel

  I₁ = I₀ (1 + p₁)
  I₂ = I₁ (1 + p₂) = I₀ (1 + p₁) (1 + p₂)
  I₃ = I₂ (1 + p₃) = I₀ (1 + p₁) (1 + p₂) (1 + p₃)
  …
  Iₙ = I₀ (1 + p₁) (1 + p₂) … (1 + pₙ)
     = I₀ Πⁿₘ₌₁ (1 + pₘ).

    [Die Äquivalenz beider Formeln kann man mit vollständiger Induktion
     nach n beweisen.]

Im Spezialfall ∀ m > 1: pₘ = pₘ₋₁ = p₁ also (die Zinseszins-Formel)

  Iₙ = I₀ (1 + p₁)ⁿ.

Somit ergibt sich nach 14 Jahren bei jeweils 2 % Inflation gegenüber dem 
Vorjahr:

  I₁₄ = 1 · (1.02)¹⁴
      = (1 + 0.02)¹⁴
      = ∑ₖ₌₀¹⁴ (¹⁴ₖ) 1^(14−k) (0.02)^k
      = ∑ₖ₌₀¹⁴ (¹⁴ₖ) (0.02)^k
      ≈ 1.31947,

also eine Inflation von ≈ 31.9 % ≈ 32 % gegenüber dem Anfangsjahr (14 Jahre 
zuvor). ∎

    [Die Bedeutung des Zinseszins wird häufig falsch eingeschätzt.]


F’up2 de.sci.mathematik

PointedEars
-- 
Heisenberg is out for a drive when he's stopped by a traffic cop. 
The officer asks him "Do you know how fast you were going?" 
Heisenberg replies "No, but I know where I am."
(from: WolframAlpha)

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Harald Lesch rechnet Rolf Bombach <rolfnospambombach@invalid.invalid> - 2022-10-10 22:03 +0200
  Re: Harald Lesch rechnet Josef Fluge <b-707@web.de> - 2022-10-11 16:33 +0200
    Re: Harald Lesch rechnet Ernst Sauer <Ernst.Sauer@kabelmail.de> - 2022-10-11 20:10 +0200
      Re: Harald Lesch rechnet Josef Fluge <b-707@web.de> - 2022-10-11 21:03 +0200
        Re: Harald Lesch rechnet Josef Fluge <b-707@web.de> - 2022-10-11 21:26 +0200
        Re: Harald Lesch rechnet Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2022-10-12 08:47 +0200
          Re: Harald Lesch rechnet Ernst Sauer <Ernst.Sauer@kabelmail.de> - 2022-10-12 11:41 +0200
            Re: Harald Lesch rechnet Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2022-10-12 12:18 +0200
              Re: Harald Lesch rechnet Ernst Sauer <Ernst.Sauer@kabelmail.de> - 2022-10-12 13:04 +0200
                Re: Harald Lesch rechnet Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2022-10-12 15:21 +0200
              Re: Harald Lesch rechnet Rolf Bombach <rolfnospambombach@invalid.invalid> - 2022-10-13 16:06 +0200
            Re: Harald Lesch rechnet Reinhardt Behm <rbehm@hushmail.com> - 2022-10-12 13:25 +0000
            Re: Harald Lesch rechnet Rolf Bombach <rolfnospambombach@invalid.invalid> - 2022-10-26 21:06 +0200
              Re: Harald Lesch rechnet Carla Schneider <carla_sch@yahoo.com> - 2022-11-03 08:17 +0100
          Re: Harald Lesch rechnet Rolf Bombach <rolfnospambombach@invalid.invalid> - 2022-10-13 15:59 +0200
    Inflation, Zinseszins (was: Harald Lesch rechnet) Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2022-10-12 01:07 +0200
    Inflation, Zinseszins (was: Harald Lesch rechnet) Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2022-10-12 01:10 +0200
  Re: Harald Lesch rechnet Hermann Riemann <nospam.ng@hermann-riemann.de> - 2022-10-30 07:07 +0100
    Re: Harald Lesch rechnet Hans-Bernhard Bröker <HBBroeker@t-online.de> - 2022-10-30 22:18 +0100

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