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Groups > de.sci.physik > #144648

Re: Zeit und Raum

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Stefan Ram wrote:

> Dr. Joachim Neudert <neudert@5sl.org> writes in "ger.ct":
> |Aber klar. Auch das Verstreichen der Zeit 10⁹a. kann schneller oder
> |langsamer gewesen sein. Schon ändert sich c, also Strecke/Zeit...
> 
>   In der speziellen Relativitätstheorie hat die Raumzeit vier
>   Dimensionen. Es handelt sich um die Zeit und drei Raumrichtungen.
> 
>   Die Zeit und die Raumrichtungen sind in dieser Theorie also
>   von der gleichen Natur,

Weder das „also“ noch die Behauptung an sich sind richtig.

Tatsächlich hat die Zeit eben eine *andere* Natur als der Raum, was seinen 
mathematischen Ausdruck im unterschiedlichen Vorzeichen der Zeit-Zeit-
Komponente des metrischen Tensors findet.

Dabei ist die entsprechende Minkowski-Metrik einfach verstehbar: Der Abstand 
zwischen zwei Punkten, die durch einen Lichtstrahl miteinander (im Raum 
einer flachen Raumzeit) verbunden sind, kann einerseits durch die Zeit, die 
das Licht dafür benötigt (Δt, linke Seite) als auch durch die Euklidische 
Distanz zwischen den Punkten (rechte Seite) ausgedrückt werden:

    c Δt  = √(Δx² + Δy² + Δz²);    [Δx² ≔ (Δx)²]

  ⇔ c²Δt² =   Δx² + Δy² + Δz²

  ⇔     0 = c²Δt² − Δx² − Δy² − Δz².

Infinitesimaler Abstand zwischen den Punkten:

        0 = c²dt² − dx² − dy² − dz²;    [dx² ≔ (dx)²]

Definition als (Raumzeit-)Metrik, so dass für Lichtwege – lichtartige 
Intervalle – ds² = 0 gilt; für Ereignisse, die nicht durch einen Lichtstrahl 
verbunden werden können – raumartige Intervalle – hier ds² < 0, und für 
solche, die durch eine Bewegung mit v < c verbunden werden können – 
zeitartige Intervalle – ds² > 0:

    ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz².    (Minkowski-Metrik)

Metrischer Tensor:

  [g]_μν ≔ diag(c², −1, −1, −1).    [hier eine Diagonalmatrix]

Dazugehörige Koordinaten für ein Ereignis:

       X ≔ (x⁰, x¹, x², x³)

Allgemeinste Schreibweise mit metrischem Tensor und Einsteinscher 
Summenkonvention (ganz rechts):

    ds² = ∑_{μ=0}^3 ∑_{ν=0}^3 g_μν dx^μ dx^ν ≔ g_μν dx^μ dx^ν.

>   so daß es naheliegen würde, auch die gleichen Einheiten für alle vier
>   Dimensionen zu verwenden.

Du musst jetzt ganz tapfer sein: Genau das wird auch gemacht, wie aus der 
obigen Schreibweise hervorgeht.
 
>   Heute machen wir das immer, wenn wir den Begriff "Lichtjahr"
>   verwenden,

Nicht nur.

>   Jedoch unterscheidet man in der speziellen Relativitätstheorie
>   machmal zwischen einer "Koordinatenzeit" und einer "Eigenzeit".

Ja.  Die Eigenzeit τ, genauer die vergangene Eigenzeit Δτ und die 
infinitesimale Version dτ, wird mit Uhren gemessen, die in dem jeweiligen 
Bezugssystem ruhen.  Sie ist somit
z. B. gegeben als

  ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz²

wenn dx = dy = dz = 0, also

  ds² = c²dτ² = c²dt² − dx² − dy² − dz²,

wobei t dann die Koordinatenzeit ist.
 
>   Bei den kleinen Geschwindigkeiten, die im Alltag auftreten,
>   fällt die Koordinatenzeit normalerweise mit der Eigenzeit
>   zusammen.

Nein, aber die *vergangene* Koordinatenzeit und die *vergangene* Eigenzeit 
unterscheiden sich in einer flachen Raumzeit nicht signifikant voneinander.

In der tatsächlichen, gekrümmten Raumzeit, ist das anders.  Daher müssen die 
Uhren bzw. die Signale der Uhren von GPS-Satelliten angepasst werden, damit 	
sie als genau so schnell (und nicht schneller) tickend wie die Bodenuhren 
erscheinen.

>   Bei höheren Geschwindigkeiten müssen diese nicht
>   mehr übereinstimmen, und dann könnte man das Verhältnis von
>   einer Eigenzeitdifferenz zu einer Koordinatenzeitdifferenz
>   als eine Art von "Geschwindigkeit, mit der die Eigenzeit
>   vergeht, wenn man sie in Koordinatenzeit mißt" verstehen.

Dilettantes Gefasel.
 
>   In der allgemeinen Relativitätstheorie bleibt die Eigenzeit
>   ein einfacher Begriff, da die Eigenzeit einer Uhr auch dort
>   einfach die Zeit ist, die sie anzeigt.

Irreführend falsch.  Natürlich gibt es auch in der ART eine Koordinatenzeit, 
und natürlich ist auch in der SRT die (vergangene) Eigenzeit genau die Zeit, 
die mit einer Uhr gemessen wird, die in dem jeweiligen Bezugssystem ruht.

Siehe auch:

<https://www.quora.com/What-affects-gravitational-time-dilation-large-masses-or-high-speeds-relative-to-those-masses/answer/Thomas-Lahn>


PointedEars
-- 
I heard that entropy isn't what it used to be.

(from: WolframAlpha)

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Re: Zeit und Raum Thomas 'PointedEars' Lahn <PointedEars@web.de> - 2023-02-11 03:06 +0100
  Re: Zeit und Raum Dieter Heidorn <d.heidorn@t-online.de> - 2023-02-11 15:52 +0100

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