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Groups > de.sci.mathematik > #141805

Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition

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# Zitat (*) zeigt Unsicherheit bei "Intervall"-Definition:
# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
# Das Intervall (0, 1] hat entweder links einen Endpunkt oder nicht.
# Wenn nicht, dann ist zwischen dem letzten Punkt links und 0 eine
# Lücke. Das halte ich für unwahrscheinlich.
#

Intervalle haben stets einen Anfangspunkt a und einen Endpunkt b und 
sind definiert als die Menge der zwischen a und b liegenden Punkte.
Statt "Anfangspunkt" kann man auch "Endpunkt links" sagen, wenn a < b.

Je nach spezieller Bedeutung von "zwischen" unterscheidet man 
geschlossene, offene und halboffene Intervalle und notiert sie 
unterschiedlich.

[a,b] ist die Menge der Punkte p mit a <= p <= b. (Geschlossen)
(a,b) ist die Menge der Punkte p mit a < p < b. (Offen)
[a,b) ist die Menge der Punkte p mit a <= p < b. (Halboffen)
(a,b] ist die Menge der Punkte p mit a < p <= b. (Halboffen)

Für normale Intervalle ist a < b, d.h. die Punktmenge ist nicht leer.
Geschlossene normale Intervalle enthalten Anfangspunkt und Endpunkt.
Offene Intervalle enthalten weder Anfangspunkt noch Endpunkt. (**)
Halboffene normale Intervalle enthalten nur Anfangspunkt oder Endpunkt.
Ist a > b, dann ist die Punktmenge leer.
Ist a = b, dann ist entsprechend der Definition:
[a,a] = {a} und (a,a) = [a,a) = (a,a] = {}.

Schauen wir auf das obige Zitat, so stellen wir fest:

Erstens:
(0, 1] hat den Anfangspunkt 0, d.h. es hat links einen Endpunkt.

Zweitens:
(0, 1] hat keinen "letzten Punkt links", weil für jeden Punkt L gilt:
Wenn L in (0, 1] ist, dann ist der Punkt L/2 in (0, 1] weiter links.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

(*) WM am 02.03.2026, 19:39 im Thread
Intervall um zwei Punkte verschieben? // TH27 Geometriegrundlagen

(**) Es ist zu unterscheiden zwischen "Endpunkt haben" und "Endpunkt 
enthalten". Jedes Intervall *hat* Endpunkte, aber sie müssen nicht in 
ihm *enthalten* sein.

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Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-03-03 23:01 +0100
  Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition Rainer Rosenthal <r.rosenthal@web.de> - 2026-03-16 19:07 +0100
  Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-03-19 22:32 +0000
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      Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition ram@zedat.fu-berlin.de (Stefan Ram) - 2026-03-19 22:53 +0000
      Re: Wie sind Intervalle definiert? // TH07 Definition Marc Olschok <nobody@nowhere.invalid> - 2026-03-22 22:13 +0000
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